Bildmått

Ett bildmått är inom matematiken ett mått som avbildar en måttstruktur från andra måttrummet till andra.

Formell definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ vara ett måttrum och ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ett mätbart rum, dvs ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ är en sigma-algebra i Y. Om ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ är en mätbar funktion är µ:s f-bildmått eller bildmåttet en funktion ${\displaystyle f_{\#}\mu :{\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}$ definierad som:

${\displaystyle (f_{\#}\mu )(A):=\mu (f^{-1}A),}$

för ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$, dvs man mäta urbilder med måttet µ.

Med urbildens egenskaper man kan visa nästan:

• Tomma mängden har bildmåttet noll:

${\displaystyle (f_{\#}\mu )(\varnothing )=\mu (f^{-1}\varnothing )=\mu (\varnothing )=0;}$

• Bildmåttet är σ-additiv, dvs om E₁, E₂, E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ så är

${\displaystyle (f_{\#}\mu )\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(f^{-1}\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }f^{-1}E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (f^{-1}E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }(f_{\#}\mu )(E_{i}),}$

eftersom f^-1E₁, f^-1E₂, f^-1E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Dvs bildmåttet är ett mått ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]}$. Så att ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},f_{\#}\mu )}$ är ett måttrum.

Sannolikhetsfördelning

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

En viktig tillämpning för bildmåttet är stokastisk variabels fördelning. Mer precist, låt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ vara ett sannolikhetsrum och ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$ en stokastisk variabel. Så att sannolikhetsfördelning för X är ett bildmått

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}:=X_{\#}\mathbb {P} \,.}$

Se även

• Måtteori
• Sannolikhetsteori