Dominerade konvergenssatsen

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om ${\displaystyle \mu }$ är ett mått på en mängd ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f_{n}}$ är en följd av funktioner på ${\displaystyle X}$ som är integrerbara med avseende på ${\displaystyle \mu }$, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion ${\displaystyle f}$, vilket kan formuleras som att

${\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }$

för varje ${\displaystyle \varepsilon >0}$, och att ${\displaystyle |f_{n}|\leq |g|}$, där ${\displaystyle g}$ är en integrerbar funktion, så är ${\displaystyle f}$ integrerbar och

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0.}$^[1]

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

${\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }$

för varje ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Låt ${\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{\,x:f_{n}(x)\neq 0\,\}.}$ Då är ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle \sigma }$-ändlig mängd, vilket är uppenbart om ${\displaystyle \mu }$ är ett ${\displaystyle \sigma }$-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att ${\displaystyle f_{n}}$ är integrerbara funktioner. Sålunda kan ${\displaystyle E}$ skrivas som en union

${\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k},}$

där ${\displaystyle E_{k}\subset E_{k+1}}$ och ${\displaystyle \mu (E_{k})<\infty }$.

Låt ${\displaystyle F_{k}=E\setminus E_{k}}$. Då är

${\displaystyle \int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \int _{F_{k}}(|f_{m}|+|f_{n}|)\,\mathrm {d} \mu \leq 2\int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu .}$

Det följer att det för varje ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ finns ett tal ${\displaystyle k_{0}}$ sådant att

${\displaystyle \int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{0},\quad k\geq k_{0},}$

gäller för varje ${\displaystyle m}$ och ${\displaystyle n}$, alldenstund ${\displaystyle \int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to 0}$, när ${\displaystyle k\to \infty }$.

Låt ${\displaystyle G_{m,n}=\{\,x:|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon _{1}\,\}}$. Då är

${\displaystyle \int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{E_{k}\setminus G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{1}\mu (E_{k})+2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu .}$

Ur antagandet om funktionerna ${\displaystyle f_{n}}$ följer att ${\displaystyle \mu (G_{m,n})\to 0}$ när ${\displaystyle m,n\to \infty }$. Sålunda finns ett tal ${\displaystyle n_{0}}$ sådant att

${\displaystyle 2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{1},}$

gäller för varje ${\displaystyle m\geq n\geq n_{0}}$. Detta ger nu att

${\displaystyle \int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},}$

om ${\displaystyle m\geq n\geq n_{0}}$ och ${\displaystyle k\geq k_{0}}$. Härav följer att

${\displaystyle \limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},}$

och sålunda gäller att

${\displaystyle \limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0},}$

eftersom ${\displaystyle \mu (E_{k})<0}$. Det är nu lätt att se att

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0,}$

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när ${\displaystyle f_{n}}$ konvergerar till ${\displaystyle f}$ nästan överallt, räcker det att visa att

${\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }$

för varje ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Låt

${\displaystyle E_{n}=\bigcup _{k=n}^{\infty }\{\,x:|f_{k}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset \{\,x:g(x)\geq \varepsilon /2\,\}.}$

Eftersom ${\displaystyle g}$ är integrerbar så är ${\displaystyle \mu (E_{n})<\infty }$ och eftersom ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f}$ nästan överallt så är ${\displaystyle \mu (\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n})=0}$. Det följer att ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (E_{n})=0}$. Enär ${\displaystyle \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset E_{n}}$, följer det att

${\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }$

för varje ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Detta slutför beviset av satsen.