Fishers ekvation

Numerisk simulering av Fishers ekvation. I färgerna: lösningen u(t,x); i punkter: lutning som motsvarar den teoretiska hastigheten för resande vågen.

Inom matematiken är Fishers ekvation, även kallad för Fisher–Kolmogorovs ekvation och Fisher–KPP-ekvationen, den partiella differentialekvationen

∂ u ∂ t = u ( 1 − u ) + ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u(1-u)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,}

Den är uppkallad efter Ronald Fisher och Andrej Kolmogorov.

Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.[1] För varje våghastighet c ≥ 2 medges resande våglösningar på formen

u ( x , t ) = v ( x ± c t ) ≡ v ( z ) , {\displaystyle u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,}

där v {\displaystyle \textstyle v} ökar och

lim z → − ∞ v ( z ) = 0 , lim z → ∞ v ( z ) = 1. {\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.}

Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u = 0 till jämviktstillståndet u = 1. Någon sådan lösning finns för c < 2.[2][3][4] Vågformen för en given våghastighet är unik.

För den speciella våghastigheten c = ± 5 / 6 {\displaystyle c=\pm 5/{\sqrt {6}}} , kan alla lösningar finnas i en sluten form, med[5]


v ( z ) = ( 1 + C e x p ( ± z / 6 ) ) − 2 {\displaystyle v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\pm {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}

där C {\displaystyle C} är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för C > 0 {\displaystyle C>0} .

Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem

∂ u ∂ t = Δ u + F ( u ) , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+F\left(u\right),}

som kan uppvisa resande våg-lösningar som växlar mellan jämviktstillstånd som ges av f ( u ) = 0 {\displaystyle f(u)=0} . Sådana ekvationer inträffar till exempel i ekologi, fysiologi, förbränning, kristallisering, plasmafysik och i allmänhet fasövergångsproblem.

Bevis på att det finns resande våg-lösningar och analyser av deras egenskaper görs ofta av fasrumsmetoden.

Resande våg-lösningar

Se även

  • Lista över plasmafysikartiklar
  • Allen–Cahns ekvation

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fisher's equation, 10 december 2013.
  1. ^ Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
  2. ^ R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
  3. ^ A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
  4. ^ Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
  5. ^ Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

Externa länkar

  • Fishers ekvation på MathWorld
  • Fishers ekvation på EqWorld