Glaishers sats

Inom talteori är Glaishers sats en användbar sats i studien av heltalspartitioner. Satsen är uppkallad efter James Whitbread Lee Glaisher.

Satsen säger att antalet partitioner av ett heltal ${\displaystyle N}$ i delar där ingen del är delbar med ${\displaystyle d}$ är lika med antalet partitioner av ${\displaystyle N}$ på formen

${\displaystyle N=N_{1}+\cdots +N_{k}}$

där

${\displaystyle N_{i}\geq N_{i+1}}$

och

${\displaystyle N_{i}\geq N_{i+d-1}+1,}$

det vill säga partitioner där ingen del repeteras d eller fler gånger.

Specialfallet ${\displaystyle d=2}$ (Eulers sats) är att antalet partitioner av ${\displaystyle N}$ i distinkta delar är samma som antalet partitioner av ${\displaystyle N}$ i udda delar.

Istället för räkning av partitioner med distinkta delar, om antalet partitioner med delar som skiljer sig åt med minst 2 räknas, ges en sats som liknar Eulers sats som kallas Rogers sats (efter Leonard James Rogers):

Antalet partitioner vars delar skiljer sig åt med minst 2 är lika med antalet partitioner som involverar endast tal kongruent till 1 eller 4 (mod 5).

Till exempel, det finns 6 partitioner av 10 i delar skiljer sig åt med minst 2, nämligen 10, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4, 6+3+1; samt 6 partitioner av 10 som involverar endast 1, 4, 6, 9, …, nämligen 9+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1. Satsen upptäcktes avskilt av Schur och Ramanujan.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Glaisher's theorem, 23 januari 2014.

• D.H. Lehmer (1946). ”Two nonexistence theorems on partitions”. Bull. Amer. Math. Soc. 52 (6): sid. 538–544. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08605-X. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183509416.