Homogena koordinater, eller fullständigare homogena kartesiska koordinater, är en typ av koordinater som framför allt används inom projektiv och analytisk geometri. Praktisk användning förekommer främst inom datorgrafik.[1]
Homogena koordinater kan, till skillnad från vanliga kartesiska koordinater, förutom att beteckna finita punkter även beteckna punkter i oändligheten. De homogena koordinaterna
för den finita punkten
i kartesiska koordinater definieras som:
![{\displaystyle (x,y)=({\frac {x_{1}}{x_{3}}},{\frac {x_{2}}{x_{3}}})=(x_{1},x_{2},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871fc615785c4ddff240b1ebfaaab1e08d8e89ae)
där
kan betraktas som en skalningsfaktor. Normalt brukar man sätta
så att
.
men ur definitionen framgår att varje finit punkt kan representeras av ett oändligt antal homogena koordinater på formen
med
.
- Observera!
- Det förekommer även att koordinaterna anges med "skalfaktorn" först (vilken då ofta kallas
). I det tvådimensionella fallet således
, så att
[2]
Om
betecknar koordinaterna en punkt i oändligheten på en linje
med
(värdet på
är oväsentligt så länge det är ändligt - alla parallella linjer har samma oändlighetspunkt[3]). Om
så ligger oändlighetspunkten i y-axelns riktning.
,
och
kan inte alla vara noll och
saknar således innebörd. Origo representeras av
, eller snarare av
.
En linje
i kartesiska koordinater motsvaras i homogena koordinater av
[4].
Taltrippeln
beskriver linjens läge och riktning och kallas linjens koordinater, dess linjekoordinater.
Ovan har tvådimensionella homogena koordinater beskrivits (att avbilda tredimensionella strukturer på ett tvådimensionellt plan är den vanligaste tillämpningen av projektiv geometri), men de kan definieras för från en till så många dimensioner man önskar. För en dimension har vi
, för tre dimensioner
etcetera.
Ursprungligen avsågs med beteckningen "homogena koordinater" sådana koordinater som avsåg detsamma om man multiplicerade (eller dividerade) dem med en skalningsfaktor, så att de representerade kvotförhållanden och inte absoluta värden - exempelvis blir punkten
punkten
(som ligger dubbelt så långt från origo, som
, men i samma riktning) om man multiplicerar koordinaterna med
, medan punkten
förblir en och samma punkt vid multiplikation av alla koordinaterna med
. Därför talar man exmpelvis även om "homogena barycentriska koordinater" och "homogena trilinjära koordinater". Jämför homogen funktion (av grad 1).
Historia
Homogena koordinater anses ofta ha införts av August Ferdinand Möbius i Der barycentrische Calkul 1827[5], men det Möbius införde var barycentriska koordinater, vilka i och för sig fungerar på ett liknande sätt som homogena koordinater. Homogena koordinater i striktare mening beskrevs av Julius Plücker 1835 i System der analytischen Geometrie.[6][7] Punkter (och linjer) i oändligheten hade dock tidigare behandlats av Jean-Victor Poncelet i Essai sur les propriétés projectives des sections coniques 1820.
Notation
Homogena koordinater kan dels skrivas med komma som separator, men även kolon förekommer
, vilket anses poängtera kvotförhållandet. Ibland används hakparenteser
för att markera mångfalden av koordinattripplar som betecknar samma punkt. Ibland används bådadera
och ibland, speciellt i äldre litteratur, används inga parenteser alls
[8].
Homogena (kartesiska) linjekoordinater
Precis som
inte kan beskriva punkter i oändligheten, kan grundskolans och gymnasiets klassiska linjeekvation
med linjekoordinaterna
inte beskriva linjer som är parallella med y-axeln (med en oändlig riktningskoefficient och en skärningspunkt med y-axeln i oändligheten). För detta behövs en tredje linjekoordinat, vilket kan lösas med
och de motsvarande linjekoordinaterna
. Då är
en linje parallell med y-axeln genom punkten
, y-axeln motsvaras således av
, och
en linje parallell med x-axeln genom
, med
motsvarande x-axeln. Om vi även använder homogena punktkoordiater
, som i
så motsvarar
linjen i oändligheten (
och
kan anta vilka värden som helst och således avses alla punkter på oändlighetslinjen).
Liksom för homogena punktkoordinater saknar
mening och liksom för homogena punktoordinater är
om
.
Om
och
går linjen genom origo och har riktningskoefficienten
, och om
och
skär linjen y-axeln i
och har riktningskoefficienten
.
Dualitet och homogena koordinater
Punkter och en rät linje | Räta linjer och en punkt |
Om är variabler i punktkoordinaterna , så omfattar ekvationen alla punkter på den fixa räta linjen . | Om är variabler i linjekoordinaterna , så omfattar ekvationen alla räta linjer genom den fixa punkten . |
En linjärkombination av två punkter och , det vill säga eller (där ), är en punkt på den räta linjen genom och . Linjärkombinationen spänner upp värdemängden för punkterna på linjen genom och . | En linjärkombination av två räta linjer och , det vill säga eller (där ), är en rät linje genom skärningspunkten mellan och . Linjärkombinationen spänner upp värdemängden för linjerna genom skärningspunkten mellan och . |
Om och är två punkter på linjen så kan ekvationen för varje punkt på skrivas som . | Om och är två linjer genom punkten så kan ekvationen för varje linje genom skrivas som . |
Två punkter och är identiska om och endast om determinanterna , och . | Två räta linjer och är identiska om och endast om determinanterna , och . |
Tre skilda punkter , och ligger på en och samma räta linje om och endast om determinanten
. | Tre skilda räta linjer , och skär varandra i samma punkt om och endast om determinanten
. |
Linjekoordinaterna för linjen genom två icke identiska punkter och ges av: , och . | Skärningspunkten mellan två icke identiska linjer och ges av: , och . |
Se även
Referenser
- William Caspar Graustein, 1920, Introduction to Higher Geometry, kapitel III, sid. 29 ff, McMillan, New York (15:e tryckningen 1939).
- Frederick Shenstone Woods, 1864,-Higher Geometry; an Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, sid. 27 ff, Ginn and company, Boston, New York...
- ^ Homogena koordinater och datorgrafik, Chalmers tekniska högskola 2011.
- ^ Se H.S.M. Coxeter, 1998, Non-Euclidean Geometry, sid. 76 ff, ISBN 9780883855225.
- ^
. Således går
då
(och
) medan
. - ^
- ^ Der barycentrische Calkul på Britannica Online.
- ^ Graustein, 1920, sid. 30.
- ^ Julius Plücker, 1835, System der analytischen Geometrie, sid.4-5, Verlag von Duncker und Humblot, Berlin.
- ^ Så gör exempelvis Woods (1864).
Externa länkar
- Tom Dalling, 2014, Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry.
- Eric W. Weisstein, Homogeneous Coordinates på MathWorld.