Menelaos sats
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Menelaos_sats_1.svg/250px-Menelaos_sats_1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Menelaos%27_theorem_2.svg/250px-Menelaos%27_theorem_2.svg.png)
Menelaos sats är en sats inom Euklidisk plangeometri som säger att (beteckningar enligt figurerna 1 och 2[1]) punkterna D, E och F belägna en på vardera av triangeln ABC's sidor (eller förlängningen av dessa) är kolinjära om och endast om:
.
Satsen är uppkallad efter den grekiske matematikern Menelaos från Alexandria, men var känd före honom[2]. Den är, tekniskt sett, en dual till Cevas sats. I del tre av Menelaos verk Sphaericorum visade han att satsen även gäller för en storcirkel som skär en sfärisk triangels sidor.[3][2]
Bevis
Betrakta figur 1. Den prickade linjen BG är parallell med FE. Vi ser att:
[4] och [5].
Vilket leder till att:
I fall att linjen genom D, E och F ej skär triangeln, som i figur 2, konstrueras den med DE parallella linjen BG där G är en punkt på triangelsidan AC, varefter förfarandet är likartat.
Referenser och noter
- Menelaus and Ceva theorems från Florida Atlantic University.
- ^ Notera att, exempelvis, är en riktad sträcka och således att
- ^ [a b] J J O'Connor & E F Robertson, Menelaus of Alexandria på MacTutor, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews.
- ^ Menelaus of Alexandria i Encyclopaedia Britannica online.
- ^ Trianglarna AFE och ABG är likformiga.
- ^ Trianglarna GBC och EDC är likformiga.
Externa länkar
- Charles E. Baker, 2014, The Theorems of Ceva and Menelaus på Ohio State University, Departement of Mathemathics.
- Paul Yiu, 1998, Euclidean Geometry, Department of Mathematics, Florida Atlantic University, kapitel 7 och 8 (p.p.), sid. 87 (91/174) - 107.