Neumannpolynom

Inom matematiken är Neumannpolynomen, introducerade av Carl Gottfried Neumann för the specialfallet α = 0 {\displaystyle \alpha =0} , är en serie polynom i 1/z som används för att expandera funktioner i serier av Besselfunktioner.

De första Neumannpolynomen är

O 0 ( α ) ( t ) = 1 t {\displaystyle O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}}}
O 1 ( α ) ( t ) = 2 α + 1 t 2 {\displaystyle O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}}}
O 2 ( α ) ( t ) = 2 + α t + 4 ( 2 + α ) ( 1 + α ) t 3 {\displaystyle O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}}}
O 3 ( α ) ( t ) = 2 ( 1 + α ) ( 3 + α ) t 2 + 8 ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 3 + α ) t 4 {\displaystyle O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}}}
O 4 ( α ) ( t ) = ( 1 + α ) ( 4 + α ) 2 t + 4 ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 4 + α ) t 3 + 16 ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 3 + α ) ( 4 + α ) t 5 . {\displaystyle O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.}

De kan i allmänhet skrivas som

O n ( α ) ( t ) = α + n 2 α ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) n − k ( n − k ) ! k ! ( − α n − k ) ( 2 t ) n + 1 − 2 k . {\displaystyle O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k}.}

Deras genererande funktion är

( z 2 ) α Γ ( α + 1 ) 1 t − z = ∑ n = 0 O n ( α ) ( t ) J α + n ( z ) {\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z)}

där J är en Besselfunktion.

Se även

  • Besselfunktion
  • Lommelpolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Neumann polynomial, 7 december 2013.