Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i
och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4776c514fc5d38f058fd52c15af869b541fa85ff)
Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.
Integralrepresentation
Polygammfunktionen kan skrivas som integralen
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456f576269702686cbf58d18fe7d5206e51d16c)
för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen
.
Serierepresentationer
Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d542f293af7fb7484b0714386b659a75951d68)
för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9531b377de4b0008ddf270522b362c0fe814015)
En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom
![{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9bf5567946592b5d154af2b57f4a684f3955bf)
fås genom logaritmering
![{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6ad76c7966d98d9a72902561775c2992e37151)
och slutligen
![{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40449d46ee8e016aa688fa2f96e287e8e188ed25)
där
är Kroneckers delta.
Taylorserie
Taylorserien vid z = 1 är
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\;\zeta (m+k+1)\;z^{k}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3778f13e294b771f50ebe50b569e69569cccca04)
och
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f9d55aee3e99ca8bdb5989be8db2ee8ed4b01)
som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.
Differensekvation
Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429dad7feb358198ddf8ed777e63471ce180f37e)
Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln
![{\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f94f09965521f7a2dd676b5ee97705c3dc1785)
Multiplikationsteorem
Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är
![{\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e588960b6b7e7608afbb9505139b858056a25ca)
och
![{\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k))+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84425fe0acd7b62c9bca9dc81c943f6061e2f8b9)
Speciella värden
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c58d3d69b728ec6b37dfcc69b9f6d225f9a041f)
![{\displaystyle \psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d459f35ce88198fd355186b42b3c429564d12b8)
![{\displaystyle \psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b774ba2561061ff5748e27c8fca13f46481bbaaf)
![{\displaystyle \psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b47a948a266e44e69b2bef8112f644b5ef118b)
Generalisering
En generalisering av polygammafunktionen för
och
är
![{\displaystyle \psi _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)=\mathrm {e} ^{-\gamma \,s}{\frac {\partial }{\partial s}}\left(\mathrm {e} ^{\gamma \,s}\,{\frac {\zeta (s+1,z)}{\Gamma (-s)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92737ded32aed4d17423755318e070d7ed02c546)
Den satisfierar differensekvationen
![{\displaystyle \psi _{s}(z+1)=\psi _{s}(z)+{\frac {\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\Gamma (-s)}}\,z^{-(s+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c13329ae024263f0eb91188ae4ef0dbf3f87bd2)
där
är Eulers konstant.
Multiplikationsformeln är
![{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}\psi _{s}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{s+1}\psi _{s}(z)+{\frac {n^{s+1}\ln n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76abf6a032fb17aba728a90cb72ee2fe9efdf276)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygamma function, 21 november 2013.
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Polygammafunktionen.Bilder & media
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|