Produktmått

Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.

Låt ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})}$, ${\displaystyle i\in I\,}$, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden ${\displaystyle I\,}$ kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna ${\displaystyle X_{i}\,}$, dvs

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in X_{i},\ i\in I\}.\,}$

En mängd ${\displaystyle A\subset X\,}$ är en kon om det finns en ändlig mängd ${\displaystyle K_{A}\subset I\,}$ och mängder ${\displaystyle A_{k}\subset X_{k}\,}$, ${\displaystyle k\in K_{A}\,}$, så att

${\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}$

Med andra ord är konen en produkt:

${\displaystyle A=\prod _{i\in I}Y_{i}}$

där

${\displaystyle Y_{i}:={\begin{cases}A_{i},&i\in K_{A},\\X_{i},&i\notin K_{A}.\end{cases}}}$

d.v.s. bara ett ändlig antal av ${\displaystyle Y_{i}\,}$ är icke-${\displaystyle X_{i}\,}$.

En kon ${\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}}$ är en mätbar kon om

${\displaystyle A_{k}\in {\mathcal {F}}_{k}\,}$

för alla ${\displaystyle k\in K_{A}\,}$.

Låt ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,}$ vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt-sigma-algebra, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är

${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}=\sigma ({\mathcal {K}}).}$

Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När ${\displaystyle I=\{1,2,...,k\}\,}$ är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\otimes ...\otimes {\mathcal {F}}_{k}.}$

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i},\mu _{i})}$, ${\displaystyle i\in I\,}$, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

${\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}$

definiera ett "mått"

${\displaystyle \tau (A):=\prod _{k\in K_{A}}\mu _{k}(A_{k}).\,}$

Den här funktionen ${\displaystyle \tau :{\mathcal {K}}\rightarrow [0,\infty ]\,}$ är sigma-additiv och ${\displaystyle \tau (\varnothing )=0\,}$. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,}$ inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,}$ bildar en algebra, dvs

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {K}},\,}$
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal {K}}\,}$ och
• ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {K}}\,}$.

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,}$. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]\,}$, för funktionen ${\displaystyle \tau \,}$ som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

${\displaystyle \mu :=\prod _{i\in I}\mu _{i},}$

så att en trippel

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=\left(\ \prod _{i\in I}X_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}\mu _{i}\ \right)}$

är ett måttrum.

När ${\displaystyle I=\{1,2,...,k\}\,}$ är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}\times ...\times \mu _{k}.}$

Lebesguemåttet i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, när ${\displaystyle n\geq 2\,}$, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1}}$

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt ${\displaystyle n=2\,}$ och ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} }$ vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

${\displaystyle A:=\{0\}\times N}$

är ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$-mätbar eftersom

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}(A)=0\,}$.

Å andra sidan det är icke ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}}$-mätbar eftersom

${\displaystyle A\notin [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]}$ .

Så att

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\neq {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}.}$

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}$

och för alla ${\displaystyle [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]}$-mätbara koner ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(A)=({\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1})(A)}$.

Så att

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}$

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ och ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )}$ vara sigma-ändliga måttrum och ${\displaystyle \mu \times \nu \,}$ vara produktmåttet.

Fubinis sats säger att om ${\displaystyle f:X\times Y\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ är integrerbar med avseende på produktmåttet ${\displaystyle \mu \times \nu \,}$, dvs

${\displaystyle \int |f|\,d(\mu \times \nu )<\infty ,}$

så är

${\displaystyle \int f\,d(\mu \times \nu )=\iint f(x,y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)=\iint f(x,y)\,d\nu (y)\,d\mu (x).}$

• Mått
• Integral
• Måttintegral

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.