Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.
Produkt-sigma-algebra
Låt
,
, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden
kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna
, dvs
![{\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in X_{i},\ i\in I\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bd19140179f8b63d181cee12444fcfa022af0a)
En mängd
är en kon om det finns en ändlig mängd
och mängder
,
, så att
![{\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef72ecfee9ef8b800b8b6d1ceace3358e360e147)
Med andra ord är konen en produkt:
![{\displaystyle A=\prod _{i\in I}Y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39517c14839bbb942a2e5033a6618d3395d4e365)
där
![{\displaystyle Y_{i}:={\begin{cases}A_{i},&i\in K_{A},\\X_{i},&i\notin K_{A}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e3d31043f5206fb459671f1f7746b29759db70)
d.v.s. bara ett ändlig antal av
är icke-
.
En kon
är en mätbar kon om
![{\displaystyle A_{k}\in {\mathcal {F}}_{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4801d99553e3a81fbcec45f21c562e482457400)
för alla
.
Låt
vara en familj av alla mätbara koner.
En produkt-sigma-algebra,
, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är
![{\displaystyle {\mathcal {F}}:=\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}=\sigma ({\mathcal {K}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb52a067875421dd3df9dc18ed74cb7639dca3f)
Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.
När
är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\otimes ...\otimes {\mathcal {F}}_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ed824c4210bacfa33b49c19879a5db80ec48d2)
Produktmått
Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.
Låt
,
, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.
För en kon
![{\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef72ecfee9ef8b800b8b6d1ceace3358e360e147)
definiera ett "mått"
![{\displaystyle \tau (A):=\prod _{k\in K_{A}}\mu _{k}(A_{k}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba01e150f4e654b0d2498873fa31d437799527d6)
Den här funktionen
är sigma-additiv och
. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner
inte bildar en sigma-algebra.
Å andra sidan det går att visa att
bildar en algebra, dvs
![{\displaystyle X\in {\mathcal {K}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e49cabdbb40ea4a871f3302c2972d9abc6c925)
och
.
Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra
. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning,
, för funktionen
som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat
![{\displaystyle \mu :=\prod _{i\in I}\mu _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eed4bb5a6fa8901e1645d5e0e76ce43c106e244)
så att en trippel
![{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=\left(\ \prod _{i\in I}X_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}\mu _{i}\ \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34a2997a825d229467f2d6cbbb897ca4791b807)
är ett måttrum.
När
är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet
![{\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}\times ...\times \mu _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcfe8347db72761b1e4a7eca6c61babc5566aa)
Exempel
Lebesguemåttet i
, när
, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba7b22b317d67cae968114aa5d644ca53a1ef65)
men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt
och
vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden
![{\displaystyle A:=\{0\}\times N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147064add392aa285f48e73d306a675f199a668c)
är
-mätbar eftersom
.
Å andra sidan det är icke
-mätbar eftersom
.
Så att
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\neq {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b82b7a7c1c340ea49018070488dff2ca2748932)
Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att
![{\displaystyle {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e37f40afe7584535cab35b39cad87f4470edc)
och för alla
-mätbara koner
.
Så att
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7276d4fa1864448d4058c6b737a8494ecb77da9f)
eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.
Fubinis sats
- Huvudartikel: Fubinis sats
En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt
och
vara sigma-ändliga måttrum och
vara produktmåttet.
Fubinis sats säger att om
är integrerbar med avseende på produktmåttet
, dvs
![{\displaystyle \int |f|\,d(\mu \times \nu )<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baccd297bff2d22f88d0d0a6eda35079e8fb4904)
så är
![{\displaystyle \int f\,d(\mu \times \nu )=\iint f(x,y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)=\iint f(x,y)\,d\nu (y)\,d\mu (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f79ca90dea5b52ec112270d62f300792f97565)
Se även
Referenser
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.