Sannolikhetsgenererande funktion

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en diskret slumpvariabel är en potensserierepresentation av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för deras kortfattade beskrivning av följden Pr ( X = k ) i sannolikhetsfunktionen för en slumpmässig variabel X. Vidare, om sannolikhetsfunktionen är reproduktionsfördelningen för en Galton-Watson-process, ger upprepad applicering av den sannolikhetsgenererande funktionen långsiktigt beteende för processen^[1].

Om X är en diskret slumpvariabel som har utfallsrummet {0,1, ...}, definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för X som^[1]

${\displaystyle G(s)=\operatorname {E} (s^{X})=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)s^{k},}$

där p är sannolikhetsfunktionen för X.

En del intressanta egenskaper för sannolikhetsgenererande funktioner kan härledas.

1. Sannolikhetsfunktionen för X fås genom att derivera G^[1],

   ${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$

2. Det följer från egenskap 1 att om två slumpvariabler X och Y har sannolikhetsgenererande funktioner som är lika, ${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$ så är även ${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$^[1]. Alltså, om X och Y har identiska sannolikhetsgenererande funktioner, har de identiska sannolikhetsfunktioner.
3. Väntevärdet av ${\displaystyle X}$ ges av ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=G'(1^{-}).}$^[1] Vidare ges variansen av X av^[1]${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$
4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ där X är en slumpvariabel, ${\displaystyle G_{X}(t)}$ är den sannolikhetsgenererande funktionen och ${\displaystyle M_{X}(t)}$ är den momentgenererande funktionen.

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en konstant slumpvariabel, dvs Pr ( X = c ) = 1, är

  ${\displaystyle G(s)=s^{c}.}$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Bernoullifördelad slumpvariabel med parameter p ges av

  ${\displaystyle G(s)=(1-p)+ps.}$

• Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poissonfördelad slumpvariabel med parametern λ är

  ${\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}$