Vantieghems sats

Inom talteorin är Vantieghems sats ett kriterium som säger om ett givet tal är ett primtal eller inte. Satsen säger att det naturliga talet n är ett primtal om och bara om

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( 2 k − 1 ) ≡ n mod ( 2 n − 1 ) . {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(2^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(2^{n}-1\right).}

Likaså är n ett primtal om och endast om följande kongruens för polynom i X innehar:

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( X k − 1 ) ≡ n − ( X n − 1 ) / ( X − 1 ) mod ( X n − 1 ) {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n-\left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right)\mod \left(X^{n}-1\right)}

eller:

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( X k − 1 ) ≡ n mod ( X n − 1 ) / ( X − 1 ) . {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right).}

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Vantieghems theorem, 20 december 2013.

Källor

  • L. J. P. Kilford, A generalization of a congruence due to Vantieghem only holding for primes, 2004, arXiv:math/0402128. En artikel med bevis och generaliseringar.