Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π. Sinc-функція , що позначається s i n c ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,} , (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:
У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як s i n c ( x ) = { sin ( π x ) π x ; x ≠ 0 1 ; x = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.} У математиці ненормована sinc-функція визначається як s i n c ( x ) = { sin ( x ) x ; x ≠ 0 1 ; x = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.} У обох випадках значення функції в особливій точці x = 0 {\displaystyle x=0} явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.
Властивості Для ненормованої sinc-функції : s i n c ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,} і s i n c ( k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,} для k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0\,} і k ∈ Z , {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} (цілі числа ); тобто, це інтерполююча функція Для ненормованої функції s i n c ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,} і s i n c ( k π ) = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} (k\pi )=0\,} для k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0\,} і k ∈ Z , {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} (цілі числа ); Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції sin ( x ) x {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна sin ( x ) x {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} рівна нулю (локальний екстремум в точці x = a {\displaystyle x=a\,} ), виконується умова sin ( a ) a = cos ( a ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,} . Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку j 0 ( x ) = sin ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} . Нормована sinc-функція - j 0 ( π x ) {\displaystyle j_{0}(\pi x)\,} . ∫ 0 x sin ( θ ) θ d θ = S i ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)\,\!} де Si(x ) — інтегральний синус . λ sinc(λ x ) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння: x d 2 y d x 2 + 2 d y d x + λ 2 x y = 0. {\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!} Іншим є cos(λ x )/x . ∫ − ∞ ∞ sin 2 ( θ ) θ 2 d θ = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \,} . ∫ − ∞ ∞ sin 3 ( θ ) θ 3 d θ = 3 π 4 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!} ∫ − ∞ ∞ sin 4 ( θ ) θ 4 d θ = 2 π 3 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!} ∫ − ∞ ∞ s i n c ( t ) e − 2 π i f t d t = r e c t ( f ) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)} , де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу. s i n c ( x ) = sin ( π x ) π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)} sin ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ cos ( x 2 n ) . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).} s i n c ( x ) = sin ( π x ) π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}} де Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} — гамма-функція
Посилання Weisstein, Eric W. Sinc Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.