Đẳng cấu thăng giáng (hình học Riemann)

Trong hình học vi phân, đẳng cấu thăng giáng là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ và phân thớ đối tiếp xúc ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

Xét một đa tạp Riemann (M, g).

Cho trước một trường vectơ ${\displaystyle X\in TM}$, ta xác định giáng của nó, là một nhát cắt ${\displaystyle X^{\flat }}$ của phần thớ đối tiếp xúc ${\displaystyle T^{*}M}$(hay một trường đối véc-tơ), bởi

${\displaystyle X_{p}^{\flat }(Y_{p})=\langle X_{p},Y_{p}\rangle }$

với mọi ${\displaystyle p\in M}$ và mọi trường véc-tơ Y. Đẳng cấu này gán cho phân thớ ${\displaystyle T^{*}M}$ một tích vô hướng.^[1]

Tương tự, với một trường đối véc-tơ ω, ta định nghĩa thăng của nó, ${\displaystyle \omega ^{\sharp }}$, là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

${\displaystyle {\bigl \langle }\omega _{p}^{\sharp },Y_{p}{\bigr \rangle }=\omega _{p}(Y_{p}),}$

với mọi ${\displaystyle p\in M}$ và mọi trường véc-tơ Y.

Ta có hai đẳng cấu là nghịch đảo của nhau

${\displaystyle \flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.}$

Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ (và trường đối mục tiêu tương ứng ${\displaystyle e^{1},\dots ,e^{n}}$ thỏa mãn ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$), ta có:

${\displaystyle X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\,\mathbf {e} ^{j}.}$

${\displaystyle \omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

• Berger, Marcel (2003). A Panoramic View of Riemannian Geometry, tr. 696
• Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. 218. ISBN 0-387-95448-1.
• Lee, J. M. (1997). Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature. Springer Graduate Texts in Mathematics. 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6.
• Warner, Frank, (1971). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups