Định lý Carathéodory (bao lồi)

Xem thêm các định lý Carathéodory khác

Trong hình học lồi, định lý Carathéodory khẳng định nếu điểm x trong Rd nằm trong bao lồi của tập hợp P, thì tồn tại một tập hợp con P′ của P gồm tối đa d+1 điểm sao cho x nằm trong bao lồi của P′. Một cách phát biểu tương đương là x nằm trong một r-đơn hình với các đỉnh thuộc P, trong đó r ≤ d {\displaystyle r\leq d} . Kết quả này được đặt tên theo Constantin Carathéodory, người đã chứng minh định lý này năm 1911 cho trường hợp P compact.[1] Năm 1913, Ernst Steinitz mở rộng định lý Carathéodory cho mọi tập P trong Rd.[2]

Sau đây là một ví dụ. Ta xét tập hợp P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} trong R2. Bao lồi của tập này là một hình vuông. Xét điểm x = (1/4, 1/4) nằm trong bao lồi của P. Ta có thể chọn tập {(0,0),(0,1),(1,0)} = P ′, với bao lồi là một hình tam giác chứa x và do đó định lý là đúng trong trường hợp này do |P′| = 3.

Chứng minh

Giả sử x là một điểm trong bao lồi của P. Khi đó, x là tổ hợp lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm trong P:

x = ∑ j = 1 k λ j x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}}

trong đó mọi xj đều thuộc P, λj là số dương, và ∑ j = 1 k λ j = 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}=1} .

Giả sử k > d + 1 (nếu không ta có ngay điều phải chứng minh). Khi đó, các điểm x2 − x1,..., xk − x1 là phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại μ2,..., μk sao cho không phải tất cả chúng đều bằng 0 và

∑ j = 2 k μ j ( x j − x 1 ) = 0 . {\displaystyle \sum _{j=2}^{k}\mu _{j}(\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{1})=\mathbf {0} .}

Nếu định nghĩa μ1 như sau

μ 1 := − ∑ j = 2 k μ j {\displaystyle \mu _{1}:=-\sum _{j=2}^{k}\mu _{j}}

thì

∑ j = 1 k μ j x j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\mathbf {0} }
∑ j = 1 k μ j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}=0}

và không phải tất cả μj đều bằng 0. Do đó tồn tại ít nhất một μj>0. Ta có,

x = ∑ j = 1 k λ j x j − α ∑ j = 1 k μ j x j = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}-\alpha \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}}

cho mọi số thực α. Vì vậy đẳng thức trên là đúng khi chọn α như sau

α := min 1 ≤ j ≤ k { λ j μ j : μ j > 0 } = λ i μ i . {\displaystyle \alpha :=\min _{1\leq j\leq k}\left\{{\tfrac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}:\mu _{j}>0\right\}={\tfrac {\lambda _{i}}{\mu _{i}}}.}

Ghi chú là α>0, và với mọi j từ 1 tới k,

λ j − α μ j ≥ 0. {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}\geq 0.}

Ta nhận thấy λi − αμi = 0 theo cách chọn α. Vì vậy,

x = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}}

trong đó mọi λ j − α μ j {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}} là không âm, tổng của chúng bằng 1, và thêm vào đó, λ i − α μ i = 0 {\displaystyle \lambda _{i}-\alpha \mu _{i}=0} . Nói cách khác, x là tổ hợp lồi của k-1 điểm trong P. Có thể lặp lại quá trình trên cho tới khi x là tổ hợp lồi của d + 1 điểm trong P.

Một cách chứng minh khác là sử dụng định lý Helly.

Xem thêm

  • Bổ đề Shapley–Folkman
  • Định lý Helly
  • Định lý Krein–Milman
  • Lý thuyết Choquet

Ghi chú

  1. ^ Carathéodory, C. (1911). “Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 32: 193–217.
  2. ^ Steinitz, Ernst (1913), “Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme”, J. Reine Angew. Math., 143: 128–176, doi:10.1515/crll.1913.143.128

Tham khảo

  • Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), “Helly's theorem and its relatives”, Convexity, Proc. Symp. Pure Math., 7, American Mathematical Society, tr. 101–179.
  • Eckhoff, J. (1993), “Helly, Radon, and Carathéodory type theorems”, Handbook of Convex Geometry, A, B, Amsterdam: North-Holland, tr. 389–448.

Liên kết ngoài

  • Một phát biểu ngắn gọn của định lý Lưu trữ 2004-08-07 tại Wayback Machine thông qua bao lồi (tại PlanetMath)