Định lý Menelaus

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus[1] là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

F A ¯ F B ¯ ⋅ D B ¯ D C ¯ ⋅ E C ¯ E A ¯ = 1 {\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1}

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì C G ∥ A B {\displaystyle CG\parallel AB} (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
D B D C = F B C G {\displaystyle {\frac {DB}{DC}}={\frac {FB}{CG}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)} và E C E A = C G F A {\displaystyle {\frac {EC}{EA}}={\frac {CG}{FA}}} ( 2 ) {\displaystyle (2)}
Nhân ( 1 ) {\displaystyle (1)} và ( 2 ) {\displaystyle (2)} và vế theo vế
D B D C ⋅ E C E A = F B F A {\displaystyle {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}={\frac {FB}{FA}}}
Từ đó suy ra
F A F B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}
*Phần đảo: Giả sử F A F B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1} . Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có F ′ A F ′ B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {F'A}{F'B}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}
Kết hợp giả thiết => F A F B = F ′ A F ′ B {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}={\frac {F'A}{F'B}}}
Hay F A F ′ A = F B F ′ B = F A + F B F ′ A + F ′ B = A B A B = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{F'A}}={\frac {FB}{F'B}}={\frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={\frac {AB}{AB}}=1}
Nên F ′ A = F A {\displaystyle F'A=FA} và F ′ B = F B {\displaystyle F'B=FB}
=> F ′ {\displaystyle F'} trùng với F {\displaystyle F} .
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm

Tham khảo

  1. ^ Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus xứ Alexandria (thế kỷ II - III), người tìm ra định lý này trong quyển sách Sphaerica vào năm 98
  • Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
  • Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
  • Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.
Hình tượng sơ khai Bài viết liên quan đến hình học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
  • x
  • t
  • s