ARMA模型(英語:Autoregressive moving average model,全稱:自我迴歸滑動平均模型)。是研究时间序列的重要方法,由自迴歸模型(简称AR模型)与移动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究,如:Panel研究中,用于消费行为模式变迁研究;在零售研究中,用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
自我迴歸AR(p)模型
![{\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7252143f217525cfbf556ff59ebafacf13e638cb)
自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。
- 其中:
是常數項;
被假設為平均數等於0,標準差等於
的隨機誤差值;
被假設為對於任何的
都不變。
移动平均MA(q)模型
![{\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233e2b4afeb090e821bd8f615b42f7b62269261e)
移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。
- 其中 μ 是序列的均值,θ1,..., θq 是参数,εt , εt-1,..., εt−q 都是 白噪声。
ARMA(p,q)模型
ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项,ARMA(p,q)模型可以表示为:
![{\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd93e1ba7710a0bb201931c0978d4d6540dd1b50)
ARMA滞后算子表示法
有时ARMA模型可以用滞后算子(Lag operator)
来表示,
。这样AR(p)模型可以写成为:
![{\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef0ecbfbb781ca2cdbf8ade385a5e6f61c857be)
其中
表示多项式
![{\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a7595509dda62baf275a6c4ff4d8b9a4645afa)
MA(q)模型可以写成为:
![{\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b33dfdf7669936f60588476e4edae1e9f96bf98)
其中θ 表示多项式
![{\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ffef5b7c1a68b203f7c4acfe1a7188305cb72e)
最后,ARMA(p,q)模型可以表示为:
![{\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d085e72f80d76d1cee533e3444a5b3acdc8abd)
或者
![{\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ff6d3499e18a9dcd19bb97b33397b133f7b021)
若
,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若
,则ARMA过程退化为AR(p)过程。
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