Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.
Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.
Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.
Sisällys
1Matemaattinen määritelmä
2Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja
3Hitausmomenttitensori
4Katso myös
5Lähteet
Matemaattinen määritelmä
Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on
Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:
Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:
missä on tiheysjakauma tilan yli. Koska , saadaan
Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja
Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²
Hitausmomenttitensori
Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu :stä kappaleesta, joiden massat ovat , missä . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus
, [1]
missä kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin
. [1]
Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa
Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ja . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa
.
Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee , joten:
Määritellään -summan :s termi suureeksi , ts.
.
Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:
,
missä on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa -matriisin alkioiksi:
[1]
Matriisia kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot, ja ovat kappaleen hitausmomentit -, - ja -akselien suhteen.[1] Jos käytetään koordinaattien sijaan karteesisia koordinaatteja ja merkitsemällä , tensori voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:
Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on , niin
,
missä on paikkavektorin osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja on kappaleen tilavuus.[1]
↑ abcdefThornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)