Parilliset ja parittomat funktiot

Matematiikassa parilliset ja parittomat funktiot ovat funktioita, jotka toteuttavat tietyt symmetrian ehdot. Ne ovat tärkeitä monilla matemaattisen analyysin aloilla, erityisesti potenssisarjojen ja Fourier'n sarjojen teoriassa. Parilliset ja parittomat funktiot ovat saaneet nimensä potenssifunktioiden eksponentin parillisuuden perusteella: potenssifunktio f(x) = xⁿ on parillinen, jos n on parillinen, ja pariton, jos n on pariton. Useimmat funktiot eivät ole parillisia tai parittomia.

Olkoon ${\displaystyle f}$ funktio, joka saa reaalilukuarvoja. Silloin ${\displaystyle f}$ on parillinen, jos funktio saa saman arvon luvulla ${\displaystyle x}$ ja sen vastaluvulla ${\displaystyle -x}$:

${\displaystyle f(x)=f(-x).\,}$

Tämän vuoksi parillisen funktion kuvaaja on peilikuva-symmetrinen y-akselin suhteen eli yhtä kaukana y-akselista olevissa kohdissa funktio saa saman arvon.

Potenssifunktiot, joilla on parillinen aste, ovat parillisia funktioita. Näitä ovat muun muassa ${\displaystyle x^{0}}$ (kun ${\displaystyle x\neq 0}$) , ${\displaystyle x^{2},x^{4},x^{6},...}$ jne. Jos esimerkiksi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:

${\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}=(-x)(-x)=(-1)x(-1)x=(-1)^{2}x^{2}=x^{2}=f(x)}$.

Erikoisfunktioissa on joitakin parillisia funktioita. Jos merkitään itseisarvofunktiota ${\displaystyle f(x)=|x|}$, voi parillisuuden perustella itseisarvon määritelmän avulla:

${\displaystyle f(-x)=|-x|=|x|=x=f(x)}$.

Trigonometriassa kosinin arvo on yksikköympyrän määritelmän mukaan sama sekä positiivisella että negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä:

${\displaystyle f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)}$.

Muita parillisia funktioita ovat muun muassa hyperbolinen kosini ${\displaystyle \cosh x}$ ja vakiofunktio.

Olkoon ${\displaystyle f}$ reaalinen funktio. Silloin ${\displaystyle f}$ on pariton, jos seuraava yhtälö pätee kaikille funktion ${\displaystyle f}$ määrittelyjoukon alkioille ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle -f(x)=f(-x)\,}$

tai

${\displaystyle f(x)=-f(-x).\,}$

Geometrisesti parittoman funktion kuvaaja on piste-symmetrinen origon suhteen eli yhtä kaukana origosta olevissa pisteissä funktio saa arvoikseen vastaluvut.

Potenssifunktiot, joilla on pariton aste, ovat parittomia funktioita. Näitä ovat muun muassa ${\displaystyle x,x^{3},x^{5},...}$ jne. Jos esimerkiksi ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:

${\displaystyle f(-x)=(-x)^{3}=(-x)(-x)(-x)=(-1)x(-1)x(-1)x=(-1)^{3}x^{3}=-x^{3}=-f(x)}$.

Trigonometriassa sinin arvot ovat yksikköympyrän määritelmän mukaan vastaluvut positiivisella ja negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä:

${\displaystyle f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x)}$.

Muita parittomia funktioita ovat muun muassa etumerkkifunktio, tangentti ${\displaystyle \tan x}$, hyperbolinen sini ${\displaystyle \sinh x}$ ja virhefunktio ${\displaystyle {\mbox{erf}}\ x}$.

Parillinen tai pariton funktio ei ole välttämättä derivoituva tai jatkuva. Parillinen funktio ei ole monotoninen paitsi vakiofunktio. Ainoa funktio, joka on sekä parillinen että pariton, on vakiofunktio, joka antaa aina arvoksi 0. (Siis ${\displaystyle f(x)=0}$ kaikilla ${\displaystyle x}$.) Pariton funktio sitä vastoin voi olla monotoninen.

Funktioiden summa on parillinen, jos molemmat funktiot ovat parillisia. Summa on pariton, jos funktiot ovat vastaavasti parittomia. Jos summassa on sekä parillinen että pariton funktio, ei tuloksesta voida tehdä päätelmiä. Tästä on poikkeuksena summa nollafunktion kanssa, jolloin funktion parillisuus tai parittomuus säilyy.

Funktio kertominen vakiolla säilyttää funktion parillisuuden tai parittomuuden. Sillä ei ole lopputulokseen vaikutusta, onko vakio parillinen tai pariton luku.

Funktioiden tulo on parillinen, jos tekijäfunktiot ovat molemmat parillisia tai parittomia. Tulo on pariton, jos tekijäfunktioista toinen on parillinen ja toinen pariton. Osamäärän tulos määräytyy vastaavasti.

Jatkuvasta funktiosta ${\displaystyle f}$ voidaan muodostaa uusi funktio ${\displaystyle g}$, joka on parillinen:

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$.

Esimerkiksi ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x}$ ei ole parillinen tai pariton funktio, mutta

${\displaystyle g(x)={\frac {(x^{2}-x)+((-x)^{2}-(-x))}{2}}={\frac {x^{2}-x+x^{2}+x}{2}}={\frac {2x^{2}}{2}}=x^{2}}$

on parillinen.

Jatkuvasta funktiosta ${\displaystyle f}$ voidaan muodostaa uusi funktio ${\displaystyle h}$, joka on pariton:

${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$.

Esimerkiksi ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x}$ ja siitä tulee nyt

${\displaystyle h(x)={\frac {(x^{2}-x)-((-x)^{2}-(-x))}{2}}={\frac {x^{2}-x-(x^{2}+x)}{2}}={\frac {x^{2}-x-x^{2}-x}{2}}={\frac {-2x}{2}}=-x}$,

joka on pariton.

Edellisten parillisen ${\displaystyle g}$ ja parittoman ${\displaystyle h}$ funktion summa on alkuperäinen funktio ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle g(x)+h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}={\frac {f(x)}{2}}+{\frac {f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)}{2}}-{\frac {f(-x)}{2}}={\frac {f(x)}{2}}+{\frac {f(x)}{2}}=f(x)}$.

Edellinen esimerkki antaa

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)=x^{2}+(-x)=x^{2}-x}$,

kuten luvattiin.

Kahden funktion ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ yhdistetty funktio ${\displaystyle f\circ g}$ voi olla parillinen, pariton tai ei kumpaakaan. Jos yhdistettävät funktiot ovat molemmat parillisia, on yhdistetty funktio myös parillinen. Parittomilla funktioilla tulos on pariton. Parillisen ja parittoman funktion yhdistetty funktio on parillinen. Parillinen funktio dominoi tulosta niin voimakkaasti, että jopa parillisen ja minkä tahansa jatkuvan funktion yhdistetty funktio on parillinen.

Parillisen funktion derivaatta on pariton ja parittoman funktion derivaatta on parillinen. Polynomeilla tämä havaitaan asteluvun muutoksena, kun parillinen aste alenee parittomaksi ja pariton aste alenee parilliseksi.

Jatkuvan parittoman funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat ${\displaystyle -a}$ ja ${\displaystyle a}$ sijaitsevat, on nolla:

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)dx=0}$.

Jatkuvan parillisen funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat ${\displaystyle -a}$ ja ${\displaystyle a}$ sijaitsevat, on arvoltaan kaksinkertainen arvoon, joka saadaan integroimalla yli välin 0:sta a:han:

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)dx=2\int _{0}^{a}f(x)dx}$.