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In matematica, un sottoinsieme
di uno spazio topologico
si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:
è aperto nella sua chiusura;
è aperto in un chiuso di
;
è chiuso in un aperto di
; - per ogni punto
di
esiste un intorno aperto
di x tale che
è chiuso in
;
è intersezione di un aperto e un chiuso di
.
Osservazioni
Se
è un sottoinsieme localmente chiuso di
, allora l'insieme
è il più grande aperto di
in cui
è chiuso. Infatti, se
è un altro aperto in cui
è chiuso risulta
e quindi
per cui
è aperto e
.
Esempi
- Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
- Il sottoinsieme
di
munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso. - Ogni sottovarietà differenziabile di
è uno spazio localmente chiuso.
Voci correlate
- Insieme aperto
- Insieme chiuso
- Chiusura (topologia) di un insieme
- Intorno topologico.
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