Topologia di sottospazio
In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.
Definizione
Se è un sottoinsieme di uno spazio topologico , la topologia indotta su dalla topologia su è la seguente: un sottoinsieme di è aperto se e solo se esiste un aperto di tale che . In altre parole, gli aperti di sono le intersezioni degli aperti di (cioè gli aperti ) con .[1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di in .
Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di , mentre si dice spazio ambiente.
![Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Subspace-01.png)
Alternativamente, si può definire la topologia su in uno dei modi seguenti:
- La topologia su è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione continua.
- La topologia su è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico una applicazione è continua se e solo se lo è la sua composizione con l'inclusione .
Esempi
- I numeri interi vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali . Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.
- Anche i numeri razionali vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali , ma questa non è discreta.
- Consideriamo l'intervallo con la topologia indotta da . Il sottoinsieme è aperto in ma non in .
Proprietà
- Intersecando tutti gli aperti di una base di con si ottiene una base per .
- Se è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad induce la topologia del sottoinsieme.
- Se è compatto e è chiuso allora è anch'esso compatto.
- Se è di Hausdorff allora anche lo è.
- Gli insiemi chiusi di sono le intersezioni di con gli insiemi chiusi di .
Note
- ^ E. Sernesi, p. 42.
- ^ C. Kosniowski, p. 23.
Bibliografia
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
Voci correlate
- La topologia quoziente.
- La topologia prodotto.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)