Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.
Całka niezorientowana
Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.
Niech funkcja rzeczywista
określona na powierzchni
będzie ciągła. Poprzez
oznaczamy rzut powierzchni
na płaszczyznę
Dzielimy
na podobszary
gdzie
dla każdego
Oznaczmy przez
ten konkretny podział.
Oznaczamy przez
tę część powierzchni
której rzutem na płaszczyznę
jest
Niech
oznacza pole powierzchni
a
pole powierzchni
[1]. Na każdym
obieramy dowolny punkt
Rzutem
na
jest
Tworzymy sumę
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów
żeby największa ze średnic
dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich
ciąg sum
dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
![{\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97f9ab229ead46b90776ecc01b4dd461f4512ed)
i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną[2].
Obliczanie
Płat dany jawnie
Jeśli płat dany równaniem
gdzie funkcja
jest klasy
w
to
![{\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x,\ y,\ \varphi (x,y){\big )}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}}}\;dx\;dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9676adcc74db89b570c88814853f7194c3aee353)
Płat dany parametrycznie
Niech płat dany jest równaniami
i ponadto zachodzą następujące warunki:
- funkcje
są klasy
w ![{\displaystyle D;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282eac0003e04e2cfbec2499c657be6ef0667760)
jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką; - różnym punktom wnętrza
odpowiadają różne punkty ![{\displaystyle D;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282eac0003e04e2cfbec2499c657be6ef0667760)
- wyrażenie
jest różne od zera wewnątrz ![{\displaystyle D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f173f63969b15d29f4efe8403a0a7032ec8f8186)
Wtedy
![{\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v){\big )}{\sqrt {H}}\;du\;dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f680c125de8af537b165fac1578ccb11ea701c3)
Uwaga. Wyrażenie
jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego
Przykłady zastosowania
Jeżeli funkcja
wyraża gęstość materialnego płata
w punkcie
to masa całego tego płata jest równa
Pole powierzchni płata
jest równe
Całka zorientowana
Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.
Definicja
Niech funkcja wektorowa
określona na powierzchni
będzie ciągła.
Poprzez
oznaczamy rzut powierzchni
na płaszczyznę
dzielimy na podobszary
takie że
dla każdego
Poprzez
oznaczamy ten konkretny podział. Przez
oznaczamy tę część powierzchni
której rzutem na płaszczyznę
jest
a przez
oznaczamy pole powierzchni
Na każdym
obieramy dowolny punkt
Rzutem
na
jest
Tworzymy sumę
gdzie
jest składową wektora
normalną do
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów
żeby największa ze średnic
dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich
ciąg sum
dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
![{\displaystyle \iint \limits _{S}X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a6d501ca434f0274b4c1dd7ae58b20ea187e03)
lub
![{\displaystyle \iint \limits _{S}Xdydz+Ydzdx+Zdxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f1c1f02b6d05edda7d8da4376004c9fc471112)
i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[3]. Niekiedy używa się również oznaczenia
lub podobnego[4].
Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:
gdzie ![{\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f8da8f8b1e8e39cc76b9139e4320c3e7c4e0e4)
to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie
a osiami układu współrzędnych[5].
Obliczanie
Płat dany jawnie
Niech płat jest zadany równaniem
gdzie funkcja
jest klasy
w
I niech
jest wektorem normalnym do
skierowanym zgodnie z osią
Wtedy
![{\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,\ y,\ \varphi (x,y))\mathbf {N} \;dx\;dy=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3498b923b54ca46a53a3f948df680b230f396503)
![{\displaystyle =\varepsilon \iint \limits _{D}{\Big (}-X\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{x}-Y\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{Y}+Z(x,\ y,\ \varphi (x,y)){\Big )}\;dx\;dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff82864bc230cc649539defb8fb48543583eda27)
gdzie
jeśli płat
jest zorientowany zgodnie z osią
i
jeśli jest zorientowany przeciwnie.
Płat dany parametrycznie
Niech płat dany jest równaniami
gdzie wszystkie te funkcje są klasy
w
I niech ponadto zachodzą następujące warunki:
jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką; - różnym punktom wnętrza
odpowiadają różne punkty ![{\displaystyle D;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282eac0003e04e2cfbec2499c657be6ef0667760)
- wyrażenie
jest różne od zera wewnątrz
(jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej
).
Wtedy:
![{\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bf6dbe16a3a94dc9f8309c8ef42594c05b5c65)
gdzie:
![{\displaystyle \mathbf {h} =[x_{u},y_{u},z_{u}]\times [x_{v},y_{v},z_{v}]={\bigg [}{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}{\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3739ca58e4629879da5aeb7bb61e3c1957fab3)
Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:
![{\displaystyle \varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv=\varepsilon \iint \limits _{D}{\begin{vmatrix}X&Y&Z\\x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}\;du\;dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae110919a12a0c5a41b260d246d1bdd5eedd4f6)
Tu
gdy płat
jest zorientowany zgodnie z wektorem h;
gdy jest zorientowany przeciwnie.
Dane 3 rzuty
| Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.Uwagi: niech ten, kto dobrze orientuje się w tym temacie, sprawdzi w tej sekcji wzór i to, co napisano po wzorze., zrozumiale przepisać reguły o znaczeniach Tak, jak teraz są one napisane, jest zupełnie nie do przyjęcia. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
Jeśli płat
można opisać wzorami
gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach
będących rzutami
odpowiednio na
to
![{\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6842b2761589fb9870a0d74e0c637913549871c3)
![{\displaystyle =\varepsilon _{x}\iint \limits _{S_{yz}}X(x(y,z),\ y,\ z)\;dy\;dz\;+\;\varepsilon _{y}\iint \limits _{S_{zx}}Y(x,\ y(z,x),\ z)\;dx\;dz\;+\;\varepsilon _{z}\iint \limits _{S_{xy}}Z(x,\ y,\ z(x,y))\;dx\;dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fb621eaea754d3e0d12d49013c97036ebf0fa1)
gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a
gdy jest zorientowany przeciwnie.
itd.
- Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
- Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
- Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.
Przykłady
Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Należałoby najpierw zdefiniować pole powierzchni w
Por. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3. - ↑ Całka powierzchniowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ G.M.G.M. Fichtenholz G.M.G.M., Rachunek różniczkowy i całkowa t. 3, s. 237 .
- ↑ W.W. Mizerski W.W. (red.), Tablice matematyczne, Warszawa 2004, s. 141 .
- ↑ G.M.G.M. Fichtenholz G.M.G.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3, s. 241 .
Linki zewnętrzne
Surface integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].