Energia sprężystości

Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

• Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:

${\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {F_{N}^{2}}{EA}},}$

gdzie:

${\displaystyle F_{N}}$ – siła ściskająca,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle A}$ – pole ściskanego przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:

${\displaystyle {\frac {dU_{T}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{k}{\frac {F_{T}^{2}}{GA}},}$

gdzie:

${\displaystyle F_{T}}$ – siła ścinająca,

${\displaystyle G}$ – moduł Kirchhoffa,

${\displaystyle A}$ – pole ściskanego przekroju,

${\displaystyle k}$ – współczynnik kształtu.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:

${\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{g}^{2}}{EI_{z}}},}$

gdzie:

${\displaystyle M_{g}}$ – moment gnący,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle I_{z}}$ – moment bezwładności przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:

${\displaystyle {\frac {dU_{S}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{s}^{2}}{GI_{o}}},}$

gdzie:

${\displaystyle M_{s}}$ – moment skręcający,

${\displaystyle G}$ – moduł Kirchhoffa,

${\displaystyle I_{o}}$ – biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta ${\displaystyle dx.}$

Energia sprężysta ${\displaystyle u}$ nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii^[1]. Wyraża się ona wzorem

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\sigma \epsilon .}$

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci^[2]

(a)${\displaystyle {}\quad u={\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}\epsilon _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}\epsilon _{2}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}\epsilon _{3},}$

gdzie ${\displaystyle \sigma _{i},\epsilon _{i}}$ są odpowiednio ${\displaystyle i}$-tym naprężeniem i ${\displaystyle i}$-tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości ${\displaystyle V_{o}=abc}$ prostopadłościanu o bokach ${\displaystyle a,b,c,}$ wyraża się wzorem

(b)${\displaystyle {}\quad \Theta ={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{3},}$

gdzie:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=(a+\Delta a)(b+\Delta b)(c+\Delta c)\\[1ex]&=abc\left(1+{\frac {\Delta a}{a}}\right)\left(1+{\frac {\Delta b}{b}}\right)\left(1+{\frac {\Delta c}{c}}\right)\\[1ex]&=V_{o}(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})(1+\epsilon _{3}).\end{aligned}}}$

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory^[2]

(c1)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{1}-\mu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big ]},}$
(c2)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{2}-\mu (\sigma _{3}+\sigma _{1}){\big ]},}$
(c3)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{3}-\mu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big ]},}$

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d)${\displaystyle {}\quad u={\frac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{1}\sigma _{3}+\sigma _{2}\sigma _{3}){\big ]},}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e)${\displaystyle {}\quad \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),}$

z którego wynika, że zmiana objętości ${\displaystyle \Theta }$ nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie^[2]

${\displaystyle \sigma _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),}$

to zamiast (e) otrzymamy

${\displaystyle \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}3\sigma _{sr}={\frac {\sigma _{sr}}{K}},}$

gdzie:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\mu )}}}$

jest modułem odkształcenia objętościowego^[2].

Naprężeniu ${\displaystyle \sigma _{sr}}$ odpowiada odkształcenie

${\displaystyle \epsilon _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\epsilon _{1}+\epsilon _{3}+\epsilon _{3})={\tfrac {1}{3}}{\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3K}}={\frac {\sigma _{sr}}{3K}}.}$

Energia właściwa ${\displaystyle u_{v}}$ odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

${\displaystyle u_{v}=3{\tfrac {1}{2}}\sigma _{sr}\epsilon _{sr}={\frac {\sigma _{sr}^{2}}{2K}}={\frac {(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}{18K}}}$

lub

${\displaystyle u_{v}={\frac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}.}$

Całkowita energia właściwa układu ${\displaystyle u}$ jest sumą dwu składników: ${\displaystyle u=u_{v}+u_{f},}$ przy czym ${\displaystyle u_{v}}$ jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a ${\displaystyle u_{f}}$ – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego ${\displaystyle u_{f}}$ otrzymamy zatem ze wzoru

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{f}&=u-u_{v}\\[1ex]&={\tfrac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}){\big ]}\\[1ex]&\quad -{\tfrac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\\[1ex]&={\tfrac {1+\mu }{3E}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{1}).\end{aligned}}}$

Dla prostego rozciągania tzn. gdy, ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma ,\;\sigma _{2}=\sigma _{3}=0}$ mamy

${\displaystyle u_{v}={\frac {(1-2\mu )\sigma ^{2}}{6E}},\quad u_{f}={\frac {(1+\mu )\sigma ^{2}}{3E}},\quad u={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}.}$

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu^[2], że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach^[1][3].

• twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac i przemieszczeń)
• twierdzenie J.C. Maxwella (o wzajemności przemieszczeń): szczególna postać twierdzenia Bettiego, gdy są tylko dwie równe siły
• twierdzenie Castigliano
• twierdzenie Menabrei (zasada minimum pracy)

• zasada minimum energii potencjalnej