Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.
Proste przypadki
- Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:
![{\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {F_{N}^{2}}{EA}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e940da795b6808bab989ab6b3bc50779fa5a808)
- gdzie:
– siła ściskająca,
– moduł Younga,
– pole ściskanego przekroju.
- Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:
![{\displaystyle {\frac {dU_{T}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{k}{\frac {F_{T}^{2}}{GA}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8d24b0270bf532b0c643293b2b2d0b0aaae59d)
- gdzie:
– siła ścinająca,
– moduł Kirchhoffa,
– pole ściskanego przekroju,
– współczynnik kształtu.
- Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:
![{\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{g}^{2}}{EI_{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de35b7d0b08176403e6a17d2182671792d6af6b1)
- gdzie:
– moment gnący,
– moduł Younga,
– moment bezwładności przekroju.
- Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:
![{\displaystyle {\frac {dU_{S}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{s}^{2}}{GI_{o}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82aad968800ed48bf09a928360a7c655206f6d4)
- gdzie:
– moment skręcający,
– moduł Kirchhoffa,
– biegunowy moment bezwładności przekroju.
Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta
Energia właściwa
Energia sprężysta
nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii[1]. Wyraża się ona wzorem
![{\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\sigma \epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e067d1c7c8d4dcf4dd89a9e10e246788b6042)
W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci[2]
(a)
gdzie
są odpowiednio
-tym naprężeniem i
-tym odkształceniem głównym.
W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości
prostopadłościanu o bokach
wyraża się wzorem
(b)
gdzie:
![{\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=(a+\Delta a)(b+\Delta b)(c+\Delta c)\\[1ex]&=abc\left(1+{\frac {\Delta a}{a}}\right)\left(1+{\frac {\Delta b}{b}}\right)\left(1+{\frac {\Delta c}{c}}\right)\\[1ex]&=V_{o}(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})(1+\epsilon _{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ba2f54ea21d443c901ab321da6c4f9963e50cb)
Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory[2]
(c1)![{\displaystyle {}\quad \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{1}-\mu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdfbab660ffb313adab0f2da7381c52f7b25be7)
(c2)![{\displaystyle {}\quad \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{2}-\mu (\sigma _{3}+\sigma _{1}){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae81b07e7655c822a5c2b01c736017f4a32a509)
(c3)
których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku
(d)
gdzie
jest liczbą Poissona.
Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru
(e)
z którego wynika, że zmiana objętości
nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenie[2]
![{\displaystyle \sigma _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e4498a241175b420cee35e7d5fdabd7ec1cc95)
to zamiast (e) otrzymamy
![{\displaystyle \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}3\sigma _{sr}={\frac {\sigma _{sr}}{K}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb61e1029772e2ab57b726a12686441565234e63)
gdzie:
![{\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\mu )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b07747a39e577d13fd32ce5a92ad0582c6a21ae)
jest modułem odkształcenia objętościowego[2].
Naprężeniu
odpowiada odkształcenie
![{\displaystyle \epsilon _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\epsilon _{1}+\epsilon _{3}+\epsilon _{3})={\tfrac {1}{3}}{\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3K}}={\frac {\sigma _{sr}}{3K}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362f528a8dde8c119011256465c3c238cc6d224d)
Energia właściwa
odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem
![{\displaystyle u_{v}=3{\tfrac {1}{2}}\sigma _{sr}\epsilon _{sr}={\frac {\sigma _{sr}^{2}}{2K}}={\frac {(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}{18K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16db7e0ee04e6f3c1a4aab7a940a3ab163155567)
lub
![{\displaystyle u_{v}={\frac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e31cf0df475bd6dff430298a6117e71e03a68a)
Całkowita energia właściwa układu
jest sumą dwu składników:
przy czym
jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a
– energią właściwą odkształcenia postaciowego.
Energię właściwą odkształcenia postaciowego
otrzymamy zatem ze wzoru
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{f}&=u-u_{v}\\[1ex]&={\tfrac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}){\big ]}\\[1ex]&\quad -{\tfrac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\\[1ex]&={\tfrac {1+\mu }{3E}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f41570db555ed2b95dab3acddbeb55690cf88ad)
Dla prostego rozciągania tzn. gdy,
mamy
![{\displaystyle u_{v}={\frac {(1-2\mu )\sigma ^{2}}{6E}},\quad u_{f}={\frac {(1+\mu )\sigma ^{2}}{3E}},\quad u={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc696e73a9fedf8cc3764583fadadfc28fe7a882)
Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu[2], że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach[1][3].
Twierdzenia o energii sprężystej
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
- ↑ a b c d e N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954.
- ↑ S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.