Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste[1], liczby hiperrealne[2]) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych[3].
Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)
Konstrukcja zbioru
Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi[a][4]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina
spełniająca warunki:
![{\displaystyle \emptyset \notin U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392c352178852c2b6cfc3c2e33882b3997f67142)
![{\displaystyle A,B\in U\Rightarrow A\cap B\in U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6c7222500f90ff79a7d15d06c759e3d314321c)
![{\displaystyle (A\in U\wedge A\subset B)\Rightarrow B\in U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70204c4e3dedac0df721fa69a533db5991d9b835)
[1][5][6][7].
Niech
będzie ultrafiltrem na
zawierającym filtr Frécheta
tzn. rodzinę
[1][5] (Ultrafiltry nie zawierające filtru Frecheta są główne, czyli są generowane przez jeden punkt). Niech na produkcie
będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja
w sposób następujący:
[1][4][8].
Jest to relacja równoważności[1][4][8], ponieważ
jest:
- zwrotna:
[4][8], - symetryczna:
[4][8], - przechodnia:
[4][8].
Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji
[4][8].
Intuicyjnie liczby hiper-rzeczywiste uzyskujemy poprzez utożsamienie między sobą tych ciągów złożonych z liczb rzeczywistych, które zgadzają się na "odpowiednio" dużym zbiorze indeksów. Tzn. na zbiorze z rozważanego ultrafiltru:
![{\displaystyle a\approx b\,\Leftrightarrow \,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e470f479839e550d76dbc8d08d8080dd3c600fd4)
Ponieważ relacja
jest kongruencją względem zwykłych działań + i · na liczbach rzeczywistych, działania te przenoszą się w standardowy sposób na
:
![{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\oplus [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}+b_{n})_{n}]_{\equiv }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9505a48dc5f5db2f6537a6548689e48b368b977c)
![{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\odot [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}\cdot b_{n})_{n}]_{\equiv }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c3aa4666cc3475356076db9e363de3435a8b65)
Struktura
jest ciałem.
Podciało tego ciała generowane przez elementy postaci
dla
,
jest izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych
[1][9][10]
Relacja
zdefiniowana wzorem:
![{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\preceq [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\;\mathop {\Leftrightarrow } ^{\text{df}}\;\{n:\;a_{n}\leqslant b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c188d368bc9c5063e3fe9d23fdfad4cc002c50b)
jest porządkiem na
. Porządek ten jest porządkiem ciągłym.
Liczba hiperrzeczywista
jest nieskończenie mała, jeśli
dla ![{\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81631ebd2f93c83e54a78492a21fc36691388e7a)
Nieskończenie małą jest, n.p.,
![{\displaystyle h\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(1,1/2,1/3,1/4,\dots ,1/n,\dots )]_{\equiv }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc337304d24d0c9aceae9741c29fee1da217d5b)
Oczywiście, skoro
, dla
, to
Jeśli teraz
, to
dla wszystkich poza skończoną ilością liczb naturalnych, skąd
![{\displaystyle \{n:\,1/n<r\}\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d7b32e2e16a9fbf71c80f3b032f134c157c51c)
co implikuje , że
.
Odwrotności liczb nieskończenie małych, to nieskończenie duże liczby hiper-rzeczywiste.
Suma i iloczyn dwóch liczb nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Suma i iloczyn dwóch nieskończenie dużych liczb hiper-rzeczywistych jest nieskończenie dużą liczbą hiper-rzeczywistą.
Uwaga. W przypadku ultrafiltru głównego, uzyskana struktura byłaby izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych.
Konstrukcja ciała
Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:
[8][9]
[8][9].
Działania
i
są dobrze zdefiniowane na
[8].
- Dowód
Niech
oraz
To znaczy, że
i
Zatem
Ponieważ
to
[8].
Niech
oraz
To znaczy, że
i
Zatem
Ponieważ
to
[8].
Struktura
jest ciałem przemiennym[11][12].
- Dowód
Zauważyć można, że:
[11];
[11];
[11]; - Niech
wtedy
[11];
[11];
[11];
[11]; - Dla
niech
gdzie
wtedy
[11][13];
[11]. ![{\displaystyle \square }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455831d58fa08f311b934d324adcff89a868b4e4)
(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru
Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała
nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1][14]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1][14].
Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych
Porządek liczb hiperrzeczywistych
Niech będzie dana relacja
Jest ona dobrze zdefiniowana na
[15].
- Dowód
Niech
i
To znaczy, że
oraz
Zatem
Ponieważ
to
[15].
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym
z porządkiem zdefiniowanym następująco:
[1][9][11][12][16].
- Dowód
Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech
Widać, że
oraz
Stąd wynika, że
co dowodzi stwierdzenia[13].
Można wykazać przechodniość relacji
Niech
oraz
Widać, że
oraz
a także, że
skąd wynika, że
czyli
[13].
Zatem relacja
jest liniowym porządkiem[b][17][18] na
Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym
oraz multyplikatywnym
Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn.
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
oraz
Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
a skoro
to
[13].
Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn.
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
oraz
Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
a skoro
to
[13].
Moduł liczby hiperrzeczywistej
Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł[19] jako
[20].
Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.:
[21].
Niearchimedesowość
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa[12][20][22].
- Dowód
Można poczynić najpierw obserwację, że
co oznacza, że
[22]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to
skąd wynika, że
[22]. Zbiór
należy do ultrafiltru
zatem
[22]. Zatem:
![{\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564add4450bee589f4f416f125bb840ae0fcdadd)
co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[22].
Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:
[20][23].
Rzeczywista domkniętość
Ciało liczb hiperrzeczywistych
jest rzeczywiście domknięte[24].
Zupełność w sensie Cauchy’ego
Ciało liczb hiperrzeczywistych
jest zupełne w sensie Cauchy’ego[25], tzn.:
[25].
- Dowód[25]
Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy
Rodzinę przedziałów otwartych
![{\displaystyle \{(0,|a_{i}\ominus a_{j}|):i,j\in \mathbb {N} \wedge i\neq j\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d22bf1cf0e050811bbc50b49e1d23e2a10c2ca)
można uporządkować malejąco relacją inkluzji:
gdzie ![{\displaystyle r_{k}:=|a_{i}\ominus a_{j}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06eb328e2db4313f7d05948aa18cb9ef04c4768f)
Ponieważ
[c], to
Niech
Wtedy istnieje takie
że dla
zachodzi:
co stoi w sprzeczności z definicją liczby
Niech
będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór
może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg
który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej.
Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych
Liczby ograniczone
Zbiór liczb ograniczonych
definiuje się następująco:
[20][26].
Struktura
jest pierścieniem[20][27].
Liczby nieskończenie małe
Zbiór liczb nieskończenie małych
definiuje się następująco:
[26].
Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:
[20][26],
tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.
Zbiór
jest różny od
ponieważ należy do niego np. liczba
[15][20].
Struktura
jest grupą[27], a
jest pierścieniem[20].
W zbiorze
nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[20].
Liczby nieskończenie duże
Zbiór liczb nieskończenie dużych
definiuje się następująco:
[26].
Zbiór
jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba
[15].
Inne podzbiory
W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.
- liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne):
[d][1][28]; - nieskończenie duże liczby hipernaturalne:
gdzie
rozumie się jako
[29][30].
- liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne):
[e][1][28].
Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla
[29],
czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.
Związki między strukturami
Można udowodnić, że
co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[20][27]. Co więcej, jest to ideał maksymalny[27][31], więc struktura ilorazowa
jest ciałem[31][32]. Ciało
jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych
[31][32].
Można również zauważyć, że:
- liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[33];
- liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[33];
- suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[33];
- iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[33];
- iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[33].
Warto zauważyć związek:
[32]. To znaczy, że dla
zachodzi związek
dla pewnej
[10].
Niech dla liczby
będzie dana
[10]. Zbiór
nazywa się monadą[10]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:
[10].
Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych
Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych
Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:
dla ![{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75163f6b28ed9cdf27a956db9233817d5c5d7247)
dla ![{\displaystyle a,b,\in \mathbb {R} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b1debdb336d22f218678af4d9cf2831a526be4)
dla
[21].
Relacja nieskończonej bliskości
W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:
[31][32][33].
To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[32][33]. Relacja
jest relacją równoważności[31][32][33].
Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[33].
- Dowód
Niech
oraz
Zauważmy, że
Lecz
zatem
sprzeczność[33].
Twierdzenie o części standardowej
Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:
[32][34].
Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[32][34], którą można oznaczyć np. jako
[10][35]. Tzn. część standardowa
liczby ograniczonej
to liczba spełniająca relację:
[35].
Rozszerzone ciągi i funkcje
Dowolną funkcję rzeczywistą
można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej
jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:
[30][36][37].
Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:
[30][36].
Dowolny ciąg liczb rzeczywistych
można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego
jako funkcję:
[f][29][30][37].
Ciąg Cauchy’ego
Ciąg rzeczywisty
jest ciągiem Cauchy’ego
[38].
Punkt skupienia ciągu
Punkt
jest punktem skupienia ciągu
[38].
Ciągłość funkcji
Funkcja
jest ciągła w punkcie
gdy
[38][39][40].
- Przykład
Funkcja
jest ciągła w każdym punkcie[41].
Niech
będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany
taki, że
[41]. Zatem
[41]. Zatem:
[41].
Zatem:
![{\displaystyle f^{*}(x^{*})\ominus f^{*}(x_{0}^{*})=\omega \odot (2x_{0}^{*}\oplus \omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252308b1dd4a96c84336e51b06233f9133d6d4a1)
co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[41]. Zatem
[41].
Granice
W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:
[36][38].
Pochodne
Niech
i niech
Wtedy:
[38][39][42],
co inaczej można zapisać:
[42].
- Przykład
Dla
w dowolnym punkcie istnieje pochodna i
[42].
[42]
Uwagi
- ↑ Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako
gdzie
jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji:
gdzie
i
są nieskończonymi zbiorami, a
jest ultrafiltrem niegłównym. - ↑ Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku:
jest liniowym porządkiem na
gdy relacja
jest przechodnia oraz
- ↑ Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu.
- ↑
- ↑
- ↑ Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!
Przypisy
- ↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 181.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
- ↑ Analiza niestandardowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-15] .
- ↑ a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
- ↑ a b c d e f g h i j k Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
- ↑ a b c d e f Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 184.
- ↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
- ↑ a b Alexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
- ↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 258.
- ↑ a b c d e f g h i j Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 182.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 187.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 185.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 183.
- ↑ a b c d e f g h Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
- ↑ a b c d e f g h i j Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
- ↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
- ↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 186.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
- ↑ a b c d e f Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
- ↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.
Linki zewnętrzne
Leif Arkeyd, Analiza niestandardowa, miesięcznik „Delta”, lipiec 2004 [dostęp 2021-07-01].
liczby tworzące zbiory | |
---|
liczby tworzące klasy właściwe | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|