Ciąg Cauchy’ego
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Cauchy_sequence_illustration.svg/220px-Cauchy_sequence_illustration.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Cauchy_sequence_illustration2.svg/220px-Cauchy_sequence_illustration2.svg.png)
Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie indeksy, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełnia warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Augustina Cauchy’ego[1].
Skoro definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości (metryki), to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.
Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się np. w algorytmach, by wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.
Ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych mogą być użyte do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych[2], co zrobił po raz pierwszy Georg Cantor[potrzebny przypis].
Definicje formalne
Niech będzie ciągiem liczbowym, tj. Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą można ustalić odpowiednio duży wskaźnik taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż
Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.
Niech będzie przestrzenią metryczną i niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.
Niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, gdy
Przykłady
- Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego wystarczy przyjąć Wówczas dla zachodzi:
- Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np. wówczas dla dowolnego dwa wyrazy ciągu spełniają
Własności
W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:
- jeżeli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego[3] (ale niekoniecznie odwrotnie, czego przykładem jest ciąg Cauchy’ego choć zawarty na przestrzeni to niezbieżny w niej),
- każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
- ciąg Cauchy’ego mający punkt skupienia (zawierający podciąg zbieżny do ) jest zbieżny do [a].
W przestrzeniach euklidesowych (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych ) dodatkowo zachodzą własności:
- ciąg punktów jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów jest ciągiem Cauchy’ego,
- ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego[4]. Fakt ten bywa znany jako twierdzenie Cauchy’ego[5], przy czym termin ten ma też inne znaczenia.
Ciąg podstawowy
Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym. Oczywiście każdy ciąg podstawowy jest ciągiem zbieżnym w
Ciąg podstawowy może mieć granicę wymierną np.:
może mieć granicę niewymierną, np.:
- gdzie oznacza część całkowitą liczby
Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.
Innym przykładem może być ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
ciąg ten jest zbieżny do niewymiernej liczby postać rekurencyjna wynika z rozwinięcia w ułamek łańcuchowy Zaletą definicji tego ciągu w porównaniu z definicją poprzedniego jest to, że tu do wyznaczenia wartości kolejnych wyrazów ciągu nie jest wymagana znajomość granicy ciągu.
Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.
Kluczowe znaczenie ciągów podstawowych jest takie, że każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu podstawowego. Wynika to z faktu, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych
Wprowadzając w zbiorze ciągów podstawowych relację równoważności
- ciągi są w relacji jeśli ciąg jest zbieżny do
można utożsamić ciągi podstawowe, których granicami jest ta sama liczba rzeczywista. Wówczas każda liczba rzeczywista jest pewną klasą abstrakcji w zbiorze ciągów podstawowych.
Jest to jedna z możliwych konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.
Zupełność
Osobne artykuły: przestrzeń zupełna, przestrzeń Banacha, przestrzeń Hilberta i przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna).
- Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny, nazywa się przestrzenią zupełną.
- Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez normę), nazywa się przestrzenią Banacha.
- Przestrzeń unitarną zupełną nazywa się przestrzenią Hilberta.
W szczególności przestrzeń (z wartością bezwzględną) i przestrzeń (z metryką euklidesową) są zupełne.
Inne postacie
Szeregi
Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.
Niech będzie przestrzenią Banacha, a ciągiem jej elementów. Szereg spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli
Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla Przyjęcie w powyższym warunku daje definicję granicy ciągu do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Osobny artykuł: przestrzeń liniowo-topologiczna.
W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.
Ciąg punktów przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje taka liczba naturalna że dla jest
W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.
W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.
Funkcje mierzalne
Osobny artykuł: warunek Cauchy’ego według miary.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Niech będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej z warunku Cauchy’ego dla ciągu wynika istnienie dla którego dla a ponieważ jest punktem skupienia to można wybrać dla którego skąd dla
Przypisy
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 167.
- ↑ Strzelecki 2018 ↓, s. 31.
- ↑
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09].
- ↑
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 3: Odległość i ciągi, 4. Ciągi Cauchy’ego, wazniak.mimuw.edu.pl, 9 czerwca 2024 [dostęp 2024-07-09].
- ↑ Krych 2010 ↓, s. 22.
Bibliografia
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
- Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
- PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .
Literatura dodatkowa
- Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
- Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
- Krzysztof Maurin, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
- Helena Musielak, Julian Musielak, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cauchy Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-07-08].
Cauchy sequence (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-07-08].
- p
- d
- e
- Britannica: topic/Cauchy-sequence
- DSDE: Cauchyfølge