Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa
równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu
tj. macierz spełniająca warunek[1]:
![{\displaystyle A=A^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0172f64d4ec7fe8a6b02d03eee5d19a930597e)
czyli
![{\displaystyle [a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b355012871299be2662174c24057bba19c4b0d3)
Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).
Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.
Przykłady
Macierze hermitowskie 2 × 2
- macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
np. ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1585d45733a17bc303d1daa7082bb52a1c910fef)
- macierze zespolone, np.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f36ef41a1065949159d6bcb49b2887489e171c9)
![{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e228acd0fb59d048fcf08b81e5025d4e32cd07)
- macierz zbudowana z macierzy Pauliego
![{\displaystyle H(x,y,z)=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}={\begin{bmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cf94e4d79b2973786867865f23aaf96dd97bde)
Macierze hermitowskie 3 × 3
- macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
np. ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdfaefe5b67e8878724ff09a3b7621c902e55e3)
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9ac3ccaccdceee30386c463573c96788818f18)
- Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:
![{\displaystyle A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4151398a58138a246287ca505f335f5e688e86ea)
Macierze hermitowskie 4 × 4
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c563f2af5fd763ec4e2ca4be10d90da938efa827)
- macierze alpha i beta Diraca
Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego
Macierze hermitowskie wymiaru
mają na przekątnej liczby rzeczywiste
a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru
mają ogólną postać
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b&\ldots \\{\overline {a}}&p_{2}&c&\ldots \\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}&\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9858343b08e65851e4c43a116d702897d4dfc9)
gdzie
– sprzężenia zespolone liczb
Macierze te zależą w ogólności od
parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową
– wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru
zależą od
parametrów (warunek
daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego
Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
Macierze hermitowskie 2 × 2
– mają ogólną postać
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a\\{\overline {a}}&p_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6643e9b7940aab0801f7b7547ef173a1e17aa7c8)
gdzie:
![{\displaystyle a=x_{a}+iy_{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad2a34156f36697da18329035abdbe571937ef6)
– sprzężenie zespolone liczby ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów
i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń
– wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.
Macierze hermitowskie 3 × 3
– mają ogólną postać
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b\\{\overline {a}}&p_{2}&c\\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b282db7c809d024d6c874ae3ddb2b74fcd28a65f)
Macierze te zależą w ogólności od
parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb
) i tworzą przestrzeń wektorową
– wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru
zależą od
parametrów i tworzą podprzestrzeń
-wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
Własności
- Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
- Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.
- Dowód: Niech
będzie wartością własną macierzy
tj.
dla pewnego niezerowego wektora
Wówczas
![{\displaystyle \lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb353f3ec1248b973e8c0b57f0e3ad9db3d5995)
- co dowodzi, że
jest liczbą rzeczywistą, ponieważ ![{\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b553b30a37fc652f2cae192893b8db9f29fd721)
- Dowód: Niech
i
będą różnymi wartościami własnymi macierzy
dla pewnych wektorów, kolejno
i
tj.
oraz
Wówczas: ![{\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d862df0d38bf912ee77649cbd9caea4fd6b5522f)
- ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc
![{\displaystyle \lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26372b82d772eb18cef24a01f73ea7b4a6e5b120)
- Stąd:
![{\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8270ffdce7f3ec5a7430870b3194703a5e189b5)
- ponieważ
(macierz niezdegenerowana),
a więc wektory
i
są ortogonalne.
- Macierz hermitowska
posiada
liniowo niezależnych wektorów własnych.
- Dowód: Niech
będzie macierzą hermitowską, a
jej wartością własną. Pokażemy, że
nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że
jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy:
zatem
Skoro
jest hermitowska, a
– rzeczywista, z powyższego wynika, że
lub równoważnie
Ostatecznie
czyli
jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że
jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy
występują zatem wyłącznie jej wektory własne.
- Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy
istnieją rzeczywista diagonalna macierz
oraz unitarna macierz
takie że ![{\displaystyle A=UDU^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab2858bb80c8ef6df0ad64701a9ade31c958cf4)
- Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
- Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.
Formę
na zespolonej przestrzeni liniowej
nazywa się hermitowską jeżeli
![{\displaystyle g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\quad (a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff6841658fc5f8e11f5aa9e3d4f31c405358d9f)
![{\displaystyle g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\quad (\xi ,\vartheta \in V).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680845f36fc533f48ac1837856260bbd18a62ab2)
Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli
jest
-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór
![{\displaystyle g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\quad (\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0733064f3246a0e0120faf3f548d5a56e71b11)
definiuje formę hermitowską w przestrzeni
(symbol
oznacza postać kolumnową wektora poziomego
).
Zobacz też
Przypisy
- ↑ macierz hermitowska, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-13] .
Bibliografia
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy | |
---|
Cechy zależne od bazy | |
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe | |
---|
dwuargumentowe | |
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia | |
---|