Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym
![{\displaystyle F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7b76cdefca89dbc5b2e3813c3663808e6cb8ea)
![{\displaystyle G(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1603eeea87ad5fccc152908f98bfc728aac31d)
Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia
postaci[a][1]:
![{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&0&0&\dots &0\\0&a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\0&0&a_{0}&\dots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}&0&0&\dots &0\\0&b_{0}&b_{1}&\dots &b_{m-1}&b_{m}&0&\dots &0\\0&0&b_{0}&\dots &b_{m-2}&b_{m-1}&b_{m}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b1eb11f9e1abe008f1b91cf77d7836b936ace2)
Przyjmuje się dodatkowo, że
Własności
Dla dowolnych wielomianów
zachodzi:
![{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=(-1)^{\deg F\cdot \deg G}\cdot \mathrm {R} (G,F),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4fab9a9c201fd9dafec0d5271769d668cdfa20)
![{\displaystyle \mathrm {R} (F\cdot H,G)=\mathrm {R} (F,G)\cdot \mathrm {R} (H,G),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5076bcd6d844d53dd0fb08e1e32a75404a5a527)
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
mają wspólny pierwiastek.
- Istnieją takie wielomiany
że ![{\displaystyle v\cdot F+w\cdot G=\mathrm {R} (F,G).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576cdbc68d358f1552c4b3f5a1565b5686b3b3a2)
Niech
będą postaci
![{\displaystyle F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2})\dots (t-x_{s}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7030d38b16977df2894550a60621baa3a4a432)
![{\displaystyle G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2})\dots (t-y_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16797a12882aa92d51517b694c7db7ffcbb781e5)
Wtedy
[b].
Zastosowanie
Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi
Rozpatrzmy układ równań wielomianowych
– niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg
uzyskujemy:
![{\displaystyle f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\ldots +f_{s}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476d1e5bb9cb97df4e17dc787123c304238910b3)
![{\displaystyle g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\ldots +g_{t}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44042a941f6c055ab39b6fc4b12470ff47c4daf8)
gdzie
są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
![{\displaystyle \mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1418bfb7cf9ed8800fb107049044ef3a75dd51bb)
Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg
tworzy się rugownik
Można udowdnić, że gdy para
jest rozwiązaniem układu równań
zachodzi
oraz
Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli
są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości
odciętej i
rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par
są rozwiązaniami układu równań.
Uwagi
- ↑ Współczynnik
pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad
Ich wzajemne położenie zależy od wartości
- ↑ Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.
Przypisy
- ↑ rugownik, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-04-26] .
Bibliografia
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, s. 300–318.
Linki zewnętrzne
Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22]. - Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Resultant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-04-26].
Resultant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].