Funkcja wymierna
Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.
Definicja
Jeśli
są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała przy czym (tj. nie wszystkie są zerami), to funkcję
nazywa się funkcją wymierną[a].
Dziedziną funkcji jest dziedzina funkcji z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji
Przykłady i zastosowania
- Funkcja jest wymierna.
- Wyrażenie nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
- Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
- Jeśli jest dowolnym wielomianem, a jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
- Funkcja jest wymierna. Jeżeli to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla jest to funkcja liniowa).
- Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
- Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
- W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.
Własności
- Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli jest pierścieniem całkowitym oraz jego pierścieniem wielomianów, to jest ciałem ułamków pierścienia
- Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
- Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
- Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną
Zobacz też
![]() | Zobacz publikację Funkcje wymierne w Wikibooks |
![]() | Zobacz w Wikiźródłach tekst Całki funkcji wymiernych |
![]() | Zobacz hasło funkcja wymierna w Wikisłowniku |
Uwagi
- ↑ W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.
Przypisy
- ↑ funkcje wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Linki zewnętrzne
Szymon Charzyński, Analiza – całkowanie funkcji wymiernych, kanał Khan Academy na YouTube, 18 lutego 2021 [dostęp 2024-06-23].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rational Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Rational function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- p
- d
- e
- p
- d
- e
algebraiczne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
przestępne |
| ||||||
krzywe tworzące wykresy |
| ||||||
powiązane tematy |
Kontrola autorytatywna (rodzaj funkcji matematycznej):
- Britannica: topic/rational-function
- SNL: rasjonal_funksjon