Tożsamość polaryzacyjna
Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.
Twierdzenie
Jeśli i są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:
(1) |
Zastępując w równaniu (1) przez otrzymuje się wzór
(2) |
co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.
Dodanie równań (1) oraz (2) daje
co odpowiada tożsamości równoległoboku.
Z kolei odejmując stronami (2) od (1), dostaje się
Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie (1) odpowiada (3), a równanie (2) odpowiada (4), a powyższa suma (1) oraz (2) poniżej sumie (3) i (4). Tożsamość (1) jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:
(3) |
z kolei w (2), podobnie jak wyżej, zmieniono znak
(4) |
ostatecznie suma (3) i (4), to
Wyprowadzenie
Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem
(5) |
Iloczyn skalarny
jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje
a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do
(6) |
Przyłożenie definicji normy z równania (5) do (6) daje równanie (1), czyli tożsamość polaryzacyjną.
Uogólnienia
Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.
Linki zewnętrzne
Polarization identity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
- p
- d
- e
forma liniowa |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
formy dwuliniowe i półtoraliniowe |
| ||||||
iloczyny skalarne |
| ||||||
formy kwadratowe | |||||||
tensory |
- p
- d
- e
iloczyny sum kwadratów |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
inne iloczyny sum |
| ||||
inne |
|