Função total de fatores primos não repetidos

A função total de fatores primos não repetidos, também chamada de ω(n) ("omega") representa o número de fatores primos distintos de n. Como 1 não possui fatores primos, o valor de ω(1) é zero. Todos os números primos e as potências de números primos assumem sempre ω(n) = 1.

Há uma ligação entre a função ω(n) e a função Ω(n). Se

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}}}$,

então

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}\alpha _{i}}$.

A função ω(n) é uma função aritmética do tipo aditiva.

Exemplos

Para n=1, ω(1)=0, já que 1 não possui fatores primos. Para um primo p qualquer, n = p, ω(p)=1, pois o expoente de p é 1. Para qualquer primo, ω(p)=1.

Seja ${\displaystyle N=p_{1}^{t_{1}}p_{2}^{t_{2}}p_{3}^{t_{3}}\ldots p_{m}^{t_{m}}.}$

Então simplesmente ${\displaystyle \omega (N)=m,}$ pois

${\displaystyle N=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{t_{i}}}$ ou ${\displaystyle N=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}}}$, como explicado antes.

Outros exemplos:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

A sequência para ω(n), com n = 1, 2, 3, ... é 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, ... e pode ser vista em A001221

Veja também

• Função aritmética
• Função multiplicativa
• Teoria aditiva dos números
• Função total de fatores primos incluso repetidos

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