Planimetria

Fragment przykładowego parkietażu Penrose’a w wersji P3, opartej na dwóch rombach

Planimetria, geometria płaszczyzny – podstawowy dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności płaskich figur geometrycznych^[1]. Planimetria na ogół dotyczy płaszczyzny euklidesowej, lecz może także dotyczyć płaszczyzny rzutowej i hiperbolicznej^{[potrzebny przypis]}. Planimetria jest nieprzerwanie rozwijana od starożytności do trzeciego tysiąclecia n.e., a niektóre z jej problemów pozostały nierozwiązane.

Fundamentalne własności płaszczyzny:

istnieją trzy punkty nienależące do jednej prostej,
przez każde dwa różne punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą,
przez każdy punkt można poprowadzić co najmniej dwie proste.

Ewolucja

Przed nowożytnością

W starożytności udowodniono podstawowe fakty o liniach prostych i o wielokątach: twierdzenia Talesa, Pitagorasa, Menelaosa, Ptolemeusza czy Pappusa. Obliczono też wtedy pola powierzchni różnych wielokątów – podając m.in. wzór Herona – a Archimedes obliczył także pole koła. Rozwinięto także teorię konstrukcji klasycznych; postawiono w tej dziedzinie kilka wielkich problemów, wśród których znalazły się planimetryczne jak trysekcja kąta, kwadratura koła (rektyfikacja okręgu) i problem Apoloniusza. Oprócz wielokątów i okręgów opisano stożkowe i konchoidy.

W czasach równoległych do europejskiego średniowiecza Brahmagupta podał wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg.

Nowożytność

Rewolucję w planimetrii przyniósł wiek XVII, kiedy powstały geometria analityczna i analiza matematyczna. Pozwoliło to na obliczenie szerokiej klasy pól powierzchni i długości krzywych. Inne wyniki tamtego stulecia to twierdzenie Cevy i twierdzenie Pascala.

W XVIII wieku Leonhard Euler opisał prostą nazwaną jego nazwiskiem.

W XIX wieku udowodniono twierdzenie Wantzela, które negatywnie odpowiedziało na starożytne problemy konstrukcyjne. Opisano też okrąg dziewięciu punktów, udowodniono twierdzenie van Aubela oraz twierdzenie Brianchona.

Wiek XX to m.in. rozwój teorii parkietażu – m.in. opisano parkietaże Penrose’a.

W 2022 roku otwarty pozostaje problem przesunięcia sofy.

Naukowcy

Planimetrii przysłużyli się między innymi:

Tales z Miletu (624–545 p.n.e.)
Pitagoras z Samos (572–497 p.n.e.)
Archimedes (287–212 p.n.e.)
Nikomedes (280–210 p.n.e.)
Apoloniusz z Pergi (260–190 p.n.e.)
Heron z Aleksandrii (10–70)
Menelaos z Aleksandrii (70–140)
Pappus z Aleksandrii (290–350)
Proklos (412–485)
Brahmagupta (598–670)
Mikołaj Kopernik (1473–1543)
Kartezjusz (1596–1650)
Pierre de Fermat (1601–1665)
Gilles de Roberval (1602–1675)
Blaise Pascal (1623–1662)
Giovanni Ceva (1647–1734)
Leonhard Euler (1707–1783)
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
Charles Julien Brianchon (1783–1864)
Jean-Victor Poncelet (1788–1867)
Karl Wilhelm Feuerbach (1800–1834)
Pierre Laurent Wantzel (1814–1848)
Joseph-Émile Barbier (1839–1889)
Henri Brocard (1845–1922)
Roger Penrose (1931–)

Przypisy

↑ planimetria, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .

Bibliografia

Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Wyd. III poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.

Działy geometrii

geometrie według założeń (aksjomatów)	absolutna afiniczna euklidesowa nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna
podział według wymiaru	planimetria stereometria
podział według metod	geometria syntetyczna geometria analityczna
inne	algebraiczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
powiązane dyscypliny	analiza geometryczna geometryczna teoria liczb geometryczna teoria grafów topologia geometryczna

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji