Kilka wykresów gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu Dirichleta, kiedy dla różnych parametrów wektorów Zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara od górnego lewego: (6; 2; 2), (3; 7; 5), (6; 2; 6), (2; 3; 4).
Parametry
ilość kategorii (całkowitych) parametry skupienia, gdzie
gdzie to funcja digamma, czyli pochodna logarytmiczna funkcji gamma
Moda
Wariancja
gdzie
Entropia
Rozkład Dirichleta – rodzina wielowymiarowych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, sparametryzowana z wykorzystaniem K-elementowego wektora dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta dla zmiennej wielowymiarowej (wektora losowego).
Rozkład Dirichleta jest często wykorzystywany w statystyce bayesowskiej jako rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem sprzężonym rozkładu wielopunktowego i rozkładu wielomianowego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo możliwych zdarzeń losowych wynosi biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane razy.
Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.
Definicja formalna
Rozkład Dirichleta rzędu z parametrami ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej określoną zależnością:
Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:
Nośnik
Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór -wymiarowych wektorów określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc co znaczy, że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa -wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla -wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem -sympleksów, znajdujących się w przestrzeni -wymiarowej. Przykładowo dla jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.