Dzielenie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Divide20by4.svg/200px-Divide20by4.svg.png)
Dzielenie – operacja matematyczna zdefiniowana w dowolnym ciele jako:
- dla
gdzie jest elementem odwrotnym do
Ponieważ dzielenie definiujemy jako mnożenie przez odwrotność, nie można dzielić przez 0, gdyż nie istnieje liczba odwrotna do 0, tzn. nie istnieje liczba, która pomnożona przez 0, da element neutralny mnożenia, czyli 1.
W działaniu tym występują dwa operandy nazywające się dzielną i dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywany jest ilorazem[1].
Podstawowe algorytmy dzielenia
W ciele liczb rzeczywistych
Gdy mianownik jest równy podstawie systemu pozycyjnego podniesionej do potęgi to wynik dzielenia równy jest licznikowi, w którym przecinek jest przesunięty w lewo o (dla dowolnego systemu pozycyjnego).
W ciele (całkowitych reszt modulo liczba pierwsza )
Znajdujemy najmniejszą liczbę naturalną taką że:
Wtedy:
Dzielenie ułamków
Dzielenie ułamków możemy zamienić mnożeniem przez odwrotność drugiej liczby, czyli:
Dzielenie pisemne
Poniżej podany jest przykład dla dwóch liczb naturalnych: i
Zaczynamy od wypisania dzielnej i dzielnika, narysowania nad nimi oddzielającej kreski.
5 jest większe od 4, więc patrzymy na kolejną cyfrę dzielnej. 5 mieści się w 48 9 razy, i Dopisujemy więc odpowiednio: 9 nad kreską, bo 9 to maksymalna liczbą 5 „mieszcząca” się w 48, -45 pod 48, bo Istotne jest, żeby utrzymać ostatnie cyfry w swoich „kolumnach”. Tzn. jeśli w danym momencie patrzymy na 48, to piszemy te liczby tak, żeby ostatnie cyfry były w tej samej kolumnie, a reszta była równo oddzielona (w tym wypadku 4 pod 4).
Dalej, odejmujemy 45 od 48 pisemnie. Cyfra z kolejnej kolumny „spada” na miejsce za ostatnią cyfrą po odejmowaniu.
Teraz dzielimy liczbę powstałą po odejmowaniu przez 5 – w taki sposób, jak uprzednio 48: piszemy 7 nad ostatnią cyfrą, czyli nad 7 (na niebiesko). Kontynuujemy...
Nie ma już więcej cyfr, które mogłyby „spaść”. Teraz, można od razu powiedzieć, że wynik dzielenia czyli 975 z resztą 4. Ewentualnie
Można kontynuować dzielenie dopisując do dzielnej zera. Dopisanie pierwszego zera do dzielnej oznacza jednak dopisanie przecinka za ostatnią cyfrą, czyli w tym wypadku za 5.
Otrzymujemy wynik równy który jest zgodny z poprzednim uzyskanym wynikiem.
Po wyczerpaniu wszystkich cyfr dzielnej, 0 kończy dzielenie; w przypadku, gdy nie wszystkie cyfry dzielnej zostały „wyczerpane” (nie „spadły”), a „na dole” znajdują się same zera, dopisuje się zera do końca wyniku, tak, aby ostatnia kolumna wyniku zrównała się z ostatnią kolumną dzielnej.
W przypadku, gdy do czynienia mamy z liczbami z rozszerzeniem dziesiętnym (cyfry po przecinku), możemy rozszerzyć ułamek tak, aby po dzielna i dzielnik były liczbami naturalnymi i kontynuować jak wyżej.
W przypadku, gdy jedna liczba jest ujemna, można wyciągnąć minus przed nawias i kontynuować jak wyżej.
Typografia
Do zapisu operacji dzielenia używa się alternatywnie symboli Unikod: U+2236 ∶ RATIO, U+002F / SOLIDUS, U+2044 ⁄ FRACTION SLASH (HTML ⁄), U+2215 ∕ DIVISION SLASH, U+00F7 ÷ DIVISION SIGN (HTML ÷).
Zobacz też
![]() | Zobacz hasła dzielenie i dzielić w Wikisłowniku |
Przypisy
- ↑ Dzielenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
Linki zewnętrzne
- Polskojęzyczne
- Materiały Akademickiej Telewizji Naukowej (ATVN.pl):
- Dzielenie z resztą cz. 1. atvn.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-12-26)].
- Dzielenie z resztą cz. 2. atvn.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-12-26)].
- Dzielenie pisemne liczb
- Anglojęzyczne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Division, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Division (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
- p
- d
- e
podstawowe typy liczb |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działania |
| ||||||||
ułamki | |||||||||
symbole |
| ||||||||
reguły zapisu | |||||||||
prawa działań | |||||||||
narzędzia |
| ||||||||
powiązane pojęcia | |||||||||
rozszerzenia |
- PWN: 3895756
- Britannica: topic/division-mathematics
- Treccani: divisione
- SNL: divisjon_-_matematikk