Ułamek
![]() | Zobacz też: inne znaczenia. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Pigeons-in-holes.jpg/220px-Pigeons-in-holes.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Cake_quarters.svg/220px-Cake_quarters.svg.png)
Ułamek – wyrażenie arytmetyczne lub algebraiczne postaci gdzie i są dowolnymi wyrażeniami tego typu. Wielkość jest znana jako licznik, jako mianownik[1], a oddzielającą je linia jako kreska ułamkowa. Wartością ułamka jest iloraz licznika przez mianownik, dlatego wartość ta istnieje tylko dla mianowników różnych od zera – dzielenie nie jest określone.
Podstawowy typ ułamków to ułamki zwykłe – ich liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi[2]. Są to zapisy (reprezentacje) liczb wymiernych[1]. Wyróżnia się kilka rodzajów ułamków zwykłych jak właściwe, niewłaściwe, skracalne i nieskracalne, opisane dalej. Do ułamków zwykłych czasem zalicza się:
- ułamki dziesiętne, które są jednak zapisywane bez kreski ułamkowej[1][3], jako dwa ciągi cyfr rozdzielone separatorem dziesiętnym;
- procenty, promile i tym podobne zapisy stosunków bezwymiarowych;
- ułamki egipskie, przy czym ten termin ma różne znaczenia.
Ułamki zwykłe są rozważane od starożytności, a ułamki dziesiętne z zapisem pozycyjnym upowszechniły się w nowożytności[1]. Ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty stały się tematem nauczanym w szkołach podstawowych, np. w Polsce w XXI wieku są częścią podstawy programowej klas IV–VIII[4].
W arytmetyce oprócz ułamków zwykłych wyróżnia się też:
- ułamki mieszane, czyli sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego[1];
- ułamki piętrowe, gdzie licznik i mianownik same są ułamkami[1];
- ułamki łańcuchowe – sumy liczby całkowitej i ułamka, którego licznik jest jedynką, a mianownik innym ułamkiem łańcuchowym.
W algebrze rozważa się między innymi ułamki zbudowane z wielomianów – wyrażenia wymierne. Operowanie na nich jest wymagane w polskich szkołach średnich, także w zakresie podstawowym[5]. Algebra wyższa bada między innymi ułamki zbudowane z bardziej ogólnych, abstrakcyjnych obiektów jak elementy innych pierścieni całkowitych[1] – zbiorów z działaniami dodawania, odejmowania i mnożenia o odpowiednich własnościach.
Liczby wymierne
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności[6], a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa[7]. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
Działania na ułamkach
Dla każdego ułamek jest równy Operację zamiany na nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:S
- na przykład:
Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i
Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:
Wzór:
- lub można skrócić na gdzie oraz
Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać gdzie
Przykład: Ułamek jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.
Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek[8], na przykład 5% to
Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × = 50 zł
Wyrażenia wymierne
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
Ciało ułamków
Osobny artykuł: ciało ułamków.
Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.
Istotność założenia całkowitości pierścienia
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych to
czyli
stąd zaś dla dowolnego
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Typografia
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np.
W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:
Nazwa | Znak | Unicode | Kod HTML |
---|---|---|---|
Jedna czwarta | ¼ | U+00BC | ¼ lub ¼ |
Jedna druga | ½ | U+00BD | ½ lub ½ |
Trzy czwarte | ¾ | U+00BE | ¾ lub ¾ |
Jedna siódma | ⅐ | U+2150 | ⅐ lub ⅐ |
Jedna dziewiąta | ⅑ | U+2151 | ⅑ lub ⅑ |
Jedna dziesiąta | ⅒ | U+2152 | ⅒ lub ⅒ |
Jedna trzecia | ⅓ | U+2153 | ⅓ lub ⅓ |
Dwie trzecie | ⅔ | U+2154 | ⅔ lub ⅔ |
Jedna piąta | ⅕ | U+2155 | ⅕ lub ⅕ |
Dwie piąte | ⅖ | U+2156 | ⅖ lub ⅖ |
Trzy piąte | ⅗ | U+2157 | ⅗ lub ⅗ |
Cztery piąte | ⅘ | U+2158 | ⅘ lub ⅘ |
Jedna szósta | ⅙ | U+2159 | ⅙ lub ⅙ |
Pięć szóstych | ⅚ | U+215A | ⅚ lub ⅚ |
Jedna ósma | ⅛ | U+215B | ⅛ lub ⅛ |
Trzy ósme | ⅜ | U+215C | ⅜ lub ⅜ |
Pięć ósmych | ⅝ | U+215D | ⅝ lub ⅝ |
Siedem ósmych | ⅞ | U+215E | ⅞ lub ⅞ |
Jedna ... | ⅟ | U+215F | ⅟ lub ⅟ |
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło ułamek w Wikisłowniku |
- proporcja
Przypisy
- ↑ a b c d e f g ułamek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑
ułamek zwykły [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2024-07-16].
- ↑ ułamek dziesiętny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
- ↑ Szkoła podstawowa IV-VIII. Matematyka, podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-07-16].
- ↑
Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ ułamek właściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ ułamek niewłaściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ Ułamki - dodawanie, mnożenie i dzielenie - SprawdzJak.pl [online], 7 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-16] (pol.).
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fraction, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Fraction (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
- p
- d
- e
podstawowe typy liczb | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działania |
| ||||||||
ułamki |
| ||||||||
symbole |
| ||||||||
reguły zapisu | |||||||||
prawa działań | |||||||||
narzędzia |
| ||||||||
powiązane pojęcia | |||||||||
rozszerzenia |
- Britannica: topic/fraction
- Treccani: frazione
- БРЭ: 2632126
- SNL: brøk_-_matematikk
- Catalana: 0153751
- DSDE: brøk