Podłoga i sufit
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Floor_function.svg/280px-Floor_function.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Ceiling_function.svg/280px-Ceiling_function.svg.png)
Podłoga i sufit (ang. floor and ceiling) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.
Definicja formalna
Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej oznaczana lub to największa liczba całkowita nie większa od [1]. Symbolicznie:
Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od Liczbę tę oznaczamy symbolem Symbolicznie:
Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej nazywa się liczbę Oznacza się ją (nie należy mylić z identycznie zapisywanym zbiorem jednoelementowym)
W informatyce pojęcia cechy i mantysy są rozumiane inaczej, zob. Notacja naukowa i Liczba zmiennoprzecinkowa.
Przykłady
Nazwy
Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], dla cechy i {·} dla mantysy.
Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Kennetha E. Iversona[2][3], który zaproponował oznaczenie dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).
Własności
Podłoga i sufit
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:
Ponadto
przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:
Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.
Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:
Ponadto:
- dla dowolnego
Część ułamkowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Mentysa.svg/280px-Mentysa.svg.png)
Część ułamkowa należy zawsze do przedziału tzn.
dla dowolnej liczby rzeczywistej
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako gdzie jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.
Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym
Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:
o ile funkcja jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.
Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.
Cecha i mantysa logarytmu
Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:
- Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
- Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).
Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału
Przykłady
Mantysa logarytmów liczb postaci (gdzie jest całkowite) wynosi np.:
Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:
Przypisy
- ↑ cecha liczby, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-05-31] .
- ↑ Nicholas J.N.J. Higham Nicholas J.N.J., Handbook of writing for the mathematical sciences, wyd. 2nd ed, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998, s. 25, ISBN 0-89871-420-6, OCLC 38992868 [dostęp 2021-02-19] .
- ↑ Kenneth E.K.E. Iverson Kenneth E.K.E., A programming language, New York 1962, s. 12, ISBN 0-471-43014-5, OCLC 523128 [dostęp 2021-02-19] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Integer Part, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
Integral part (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
Floor function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
- p
- d
- e
podstawowe typy liczb | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działania |
| ||||||||
ułamki | |||||||||
symbole |
| ||||||||
reguły zapisu | |||||||||
prawa działań | |||||||||
narzędzia |
| ||||||||
powiązane pojęcia | |||||||||
rozszerzenia |