Funkcje specjalne
Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach[1]. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.
Niektóre funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością[potrzebny przypis].
Funkcje związane z | Symbol | Nazwa | Komentarz |
---|---|---|---|
funkcją Γ | Funkcja gamma Eulera | uogólnienie silni | |
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma | zwana również funkcją digamma | ||
Funkcja poligamma | |||
Funkcja beta Eulera | powiązana ze współczynnikami dwumianowymi | ||
funkcją błędu i całkami wykładniczymi | Funkcja błędu Gaussa | ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa | |
Uzupełniająca funkcja błędu | |||
Zespolona funkcja błędu | |||
Całki Fresnela (sinus i cosinus Fresnela) | stosowane w optyce | ||
Funkcja całkowo-wykładnicza | |||
Logarytm całkowy | |||
Sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny | |||
z funkcją ζ | Funkcja dzeta Riemanna | ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna | |
Funkcja eta Dirichleta | |||
Polilogarytmy | |||
całkami i funkcjami eliptycznymi | Całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia | pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy | |
Całki eliptyczne zupełne I i II stopnia | otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2 | ||
Funkcje eliptyczne Jacobiego | odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy | ||
Funkcja hipergeometryczna | za pomocą tej funkcji można łatwo wyrazić całki eliptyczne oraz wiele innych znanych funkcji | ||
wielomianami ortogonalnymi | Wielomiany Legendre'a | rozwiązania równania Legendre'a | |
Stowarzyszone wielomiany Legendre'a | |||
Wielomiany Laguerre'a | występują m.in. w mechanice kwantowej | ||
Stowarzyszone wielomiany Laguerre'a | dla α=0 otrzymuje się "normalne" wielomiany Laguerre'a | ||
Wielomiany Hermite'a | |||
Wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju | |||
Wielomiany Gegenbauera | |||
Wielomiany Jacobiego | można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre'a oraz Czebyszewa I i II rodzaju | ||
Harmoniki sferyczne | mają zastosowanie w astronomii, mechanice i elektrodynamice | ||
funkcjami Bessela | Funkcje Bessela | zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektrodynamice | |
Zmodyfikowane funkcje Bessela | |||
Funkcje Hankela | |||
funkcjami odwrotnymi | Funkcja Gudermanna | amplituda hiperboliczna, gudermanian | |
Funkcja W Lamberta | funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex |
Inne funkcje specjalne:
- funkcje Mathieu - funkcje eliptycznego cylindra
- funkcje Webera-Hermite'a - funkcje parabolicznego cylindra
- funkcje Heinego
- funkcje Wangereina
- funkcje Blasiusa
- funkcje Falknera-Skanna
Przypisy
- ↑ funkcje specjalne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-18] .
Bibliografia
- G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
- M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm.
Linki zewnętrzne
Special functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- p
- d
- e
Funkcje specjalne
pogrupowane według tego, jak są definiowane
złożeniem i odwracaniem funkcji elementarnych |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
szeregami |
| ||||||
całkami z funkcji |
| ||||||
równaniami różniczkowymi |
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
obraz |
| ||||||||||||||||||||||
przeciwobraz |
| ||||||||||||||||||||||
typy (rodzaje) |
| ||||||||||||||||||||||
pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych | |||||||||||||||||||||||
złożenie funkcji (superpozycja) |
| ||||||||||||||||||||||
struktury definiowane funkcjami | |||||||||||||||||||||||
inne powiązane pojęcia | |||||||||||||||||||||||
twierdzenia | |||||||||||||||||||||||
uogólnienia |
|
- Britannica: topic/special-function