Funkcja tożsamościowa
![]() | Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem operator jednostkowy (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.
W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.
Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.
Definicja
Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru nazywa się funkcję daną dla każdego wzorem
Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru
Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc:
W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna
Własności
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Linear_function.svg/220px-Linear_function.svg.png)
Jeżeli jest dowolną funkcją, to gdzie oznacza złożenie funkcji. W szczególności jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji
Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy nie muszą być funkcjami.
Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.
Przykłady
Funkcja liniowa postaci jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.
Zobacz też
- włożenie
- zanurzenie
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Identity Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
Identity map (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
obraz |
| ||||||||||||||||||||||
przeciwobraz |
| ||||||||||||||||||||||
typy (rodzaje) |
| ||||||||||||||||||||||
pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych | |||||||||||||||||||||||
złożenie funkcji (superpozycja) |
| ||||||||||||||||||||||
struktury definiowane funkcjami | |||||||||||||||||||||||
inne powiązane pojęcia | |||||||||||||||||||||||
twierdzenia | |||||||||||||||||||||||
uogólnienia |
|
- p
- d
- e