Funkcja monotoniczna
![]() | Na tę stronę wskazuje przekierowanie ze „zbiór monotoniczny”. Zobacz też: klasa monotoniczna w teorii mnogości i teorii miary. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Monotonicity_example1.png/220px-Monotonicity_example1.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Monotonicity_example2.png/220px-Monotonicity_example2.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Monotonicity_example3.png/220px-Monotonicity_example3.png)
Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów[1]. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.
Wyróżnia się odmiany funkcji monotonicznych jak niemalejące[2], nierosnące[3], rosnące[4] i malejące[5]. W szczególności pojęcie stosuje się do niektórych ciągów[6], które są funkcjami na podzbiorach zbioru liczb naturalnych. Przez to wyróżnia się ciągi niemalejące[7], nierosnące[8], rosnące[9] i malejące[10].
Definicje i odmiany
Niech będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych oraz takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a będą dowolnymi elementami Wówczas funkcję nazywa się
- rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
- malejącą lub silnie malejącą, gdy
Jeżeli zbiory oraz są słabo uporządkowane, to funkcję nazywa się
- niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
- nierosnącą lub słabo malejącą, gdy
Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno: i
W szczególności symbole oraz mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze” oraz „mniejsze-równe” określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe” i „większe-równe”
Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.
Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli jest rosnąca, to maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.
Jeżeli w zbiorze zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję nazywa się
- stałą, gdy
- dla dowolnych
Jeżeli jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi, jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.
Przykłady
- Funkcja liniowa jest malejąca, gdy rosnąca, gdy jest niemalejąca, gdy nierosnąca, gdy i stała, gdy
- Funkcja wykładnicza jest rosnąca, gdy malejąca, gdy i stała dla
- Funkcja logarytmiczna rośnie, gdy (w tym funkcja logarytmu naturalnego) i maleje
- Funkcja potęgowa rośnie na przedziale gdy i maleje, gdy
Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:
- ciąg słów który jest stały;
- ciąg liczb naturalnych który (ściśle) rośnie;
- ciąg liczb całkowitych który nie jest monotoniczny.
Własności i zastosowania
Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).
Dla zachodzą następujące własności[potrzebny przypis]:
- ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny;
- ma granicę w nieskończoności (tak jak i ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź lub
- może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju;
- może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.
Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:
- jeżeli jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na tzn. zbiór liczb takich, że nie jest różniczkowalna w jest miary zero Lebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
- jeżeli jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.
Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa:
jest funkcją (słabo) rosnącą.
Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.
Analiza funkcjonalna
W analizie funkcjonalnej (być może nieliniowy) operator określony na przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się monotonicznym, jeżeli
- dla dowolnych zachodzi
Twierdzenie Kaczurowskiego (Качуровский, Kachurowskii) mówi, że pochodne funkcji wypukłych na przestrzeniach Banacha są operatorami monotonicznymi.
Podzbiór zbioru nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par i z jest
Jeżeli jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.
Teoria porządku
Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji między zbiorami oraz mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli
Jeżeli
to funkcję nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.
Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina jest kratą, to musi być stała.
Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii zbiorów częściowo uporządkowanych.
Funkcje boole’owskie
W algebrze Boole’a funkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich takich, że dla spełniony jest warunek
Monotoniczne funkcje boole’owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).
Liczba takich funkcji zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla
Zobacz też
Przypisy
- ↑ monotoniczność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-02-07] .
- ↑ funkcja niemalejąca, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ funkcja nierosnąca, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ funkcja rosnąca, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ funkcja malejąca, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ ciąg monotoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ ciąg niemalejący, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ ciąg nierosnący, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ ciąg rosnący, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- ↑ ciąg malejący, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-22] .
- p
- d
- e
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
obraz |
| ||||||||||||||||||||||
przeciwobraz |
| ||||||||||||||||||||||
typy (rodzaje) |
| ||||||||||||||||||||||
pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych | |||||||||||||||||||||||
złożenie funkcji (superpozycja) |
| ||||||||||||||||||||||
struktury definiowane funkcjami | |||||||||||||||||||||||
inne powiązane pojęcia | |||||||||||||||||||||||
twierdzenia | |||||||||||||||||||||||
uogólnienia |
|
- Catalana: 0153360
- DSDE: monoton_funktion