Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne
[1]:
![{\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bb4517407e4ac91c071add23d8ee4bd1daedf8)
gdzie:
![{\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99057bc94099147f2b1c0a1fe8b1a2288dbf41c0)
przy czym nie zachodzi
![{\displaystyle a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c15d9464770a4135513c629d6409c24277503c)
(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).
W zależności od wartości współczynników
kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.
Wykresy i równania kanoniczne
Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.
W poniższych wzorach
elipsoida | | |
elipsoida obrotowa (szczególny przypadek elipsoidy) | |
sfera (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej) | |
paraboloida eliptyczna | | |
paraboloida obrotowa (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej) | |
paraboloida hiperboliczna | | |
hiperboloida jednopowłokowa | | |
hiperboloida dwupowłokowa | | |
powierzchnia stożkowa | | |
walec eliptyczny | | |
powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości (szczególny przypadek walca eliptycznego) | |
walec hiperboliczny | | |
walec paraboliczny | | |
przecinające się płaszczyzny | | |
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone | | prosta |
równoległe płaszczyzny | | |
nakładające się płaszczyzny | | |
tzw. równoległe płaszczyzny urojone | | zbiór pusty |
tzw. elipsoida urojona | | zbiór pusty |
tzw. stożek urojony | | pojedynczy punkt |
tzw. urojony walec eliptyczny | | zbiór pusty |
Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).
Postać macierzowa równania
Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {x} +a_{44}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6292e6623cb542e8af8b72ac9429ecf8be1dbf12)
gdzie:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2592b667a4ce3a860f0a72a336f108c8b3f7bab0)
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb76f7cf373c0e195798b6c666b8d06c1ef3757c)
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e1a6ca3440cd4c12a0dbacd86689036c9e7075)
Niezmienniki
Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):
![{\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8a7e2aaf2f45c5f099c8ec7dc1749c5942c58c)
![{\displaystyle \delta =\det A=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc778e91b506b5e67984fef22e28f632028e1e2)
![{\displaystyle S=a_{11}+a_{22}+a_{33}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b05a80ae582ac9ec299be82ff4a378a24becdce)
![{\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{12}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5939cc7a6595074ae05e28274478bea03360a154)
Określenie typu na podstawie współczynników
Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.
tzw. powierzchnie środkowe:
pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
powierzchnia stożkowa
powierzchnia stożkowa
paraboloidy:
![{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c4b4938f272662da1fc8c2a2e0f667ae384419)
przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty) - w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:
Przypisy
- ↑ kwadryki, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-05] .
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Surface, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Quadric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05]. - Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk (ang.)
Kwadryki
typy | |
---|
powiązane bryły | |
---|
inne powiązane pojęcia | |
---|
występowanie | |
---|
- Britannica: topic/quadric-surface
- Universalis: quadriques