Pierwiastek kwadratowy
![]() | Ten artykuł dotyczy pierwiastka kwadratowego. Zobacz też: album z 2013. |
Pierwiastek kwadratowy definiuje się dla liczb rzeczywistych i zespolonych, przy czym dla liczb rzeczywistych definiuje się pierwiastki kwadratowe arytmetyczne i algebraiczne. W interpretacji geometrycznej pierwiastek arytmetyczny obliczony z pola powierzchni kwadratu daje długość jego boku; stąd pochodzi nazwa „kwadratowy”. Np. Pierwiastek kwadratowy z 9 wynosi 3, gdyż kwadrat o polu równym 9 jednostek powierzchni ma bok równy 3 jednostkom długości.
Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo liczbami naturalnymi, albo niewymiernymi. Własność ta była już znana w starożytności, o czym mówi już o tym twierdzenie 9 w księdze X[1] Elementów Euklidesa. Podejrzewa się, że niewymierność konkretnego przypadku była już znana wcześniej Pitagorejczykom, a za jej odkrywcę tradycyjnie uznawany jest Hippazos[2].
Pierwiastek kwadratowy można przedstawić w postaci potęgi o ułamkowym wykładniku, tj.
W ogólności pojęcie pierwiastka kwadratowego (orqaz innych stopni) można rozpatrywać dla przeróżnych obiektów matematycznych, na zbiorze których określone jest działanie dwuargumentowe pełniące rolę mnożenia, np. w algebrze macierzy czy pierścieniu endomorfizmów (z działaniami odpowiednio mnożenia macierzy i składania funkcji).
Pierwiastki kwadratowe w dziedzinie liczb rzeczywistych
Df. Pierwiastek algebraiczny kwadratowy z liczby rzeczywistej to każda taka liczba rzeczywista której kwadrat jest równy danej liczbie Innymi słowy, pierwiastkiem algebraicznym kwadratowym z liczby rzeczywistej jest dowolne rozwiązanie równania zmiennej przy ustalonej wartości
Z definicj wynika, że: a) liczba rzeczywista dodatnia ma dwa pierwiastki kwadratowe algebraiczne: dodatni, nazywany arytmetycznym (pod wyrażeniem „pierwiastek kwadratowy”, czy nawet „pierwiastek” rozumie się często właśnie jego), a drugi – ujemny. Zwykle oznacza się je odpowiednio symbolami [3] bądź oraz gdzie jest symbolem pierwiastka; łącznie oznacza się je w skrócie (zob. znak ±). b). Jedynym pierwiastkiem z liczby jest ona sama. c) Nie istnieją rzeczywiste pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych (istnieją zaś pierwiastki z liczb ujemnych w dziedzinie zespolonej - wtedy są one urojonymi liczbami zespolonymi).
Np. Pierwiastkami algebraicznymi z są liczby oraz , gdyż każda z nich spełnia równanie Natomiast arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z jest liczba , ponieważ jest dodatnia oraz
Własności
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Square_root_0_25.svg/220px-Square_root_0_25.svg.png)
Dla wszystkich liczb rzeczywistych zachodzi wzór (zob. wartość bezwzględna)
zaś dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych oraz prawdziwa jest tożsamość
Ponieważ dla wszystkich liczb zespolonych zachodzi to stosując powyższą tożsamość, zachodzi dla nich również:
Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:
Traktując liczbę podpierwiastkową jako argument funkcji nazywanej funkcją pierwiastkową, która przekształca zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych w siebie, można dowieść, iż jest ona ciągła na całej dziedzinie (dla nieujemnych ) i różniczkowalna poza zerem (dla dodatnich ), a jej pierwsza pochodna jest dana wzorem Kolejne pochodne dowolnego rzędu dane są dla wzorem
Podstawiając pod ten wzór otrzymuje się natomiast podstawiając ujemne, otrzymuje się kolejne całki tej funkcji.
Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji w otoczeniu punktu zbieżny dla ma postać
Obliczanie
Zobacz też: metody obliczania pierwiastka kwadratowego.
W większości obecnych kalkulatorów kieszonkowych jest dostępny klawisz funkcyjny do wyznaczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego; oprogramowanie komputera przeznaczone do celów obliczeniowych, np. arkusz kalkulacyjny, często dysponuje oddzielną funkcją. Kalkulatory kieszonkowe mają często wydajne implementacje funkcji wykładniczej i logarytmu naturalnego bądź dziesiętnego, które mogą być wykorzystane do obliczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej za pomocą równania
Wzory te mają również zastosowanie dla obliczeń przybliżonych z zastosowaniem tablic logarytmicznych lub suwaka logarytmicznego.
Pierwiastki zespolone
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Complex_sqrt_leaf1.jpg/200px-Complex_sqrt_leaf1.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Complex_sqrt_leaf2.jpg/200px-Complex_sqrt_leaf2.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Riemann_surface_sqrt.jpg/200px-Riemann_surface_sqrt.jpg)
Kwadrat dowolnej liczby dodatniej lub ujemnej jest dodatni, a kwadrat 0 wynosi 0. W związku z tym nie istnieje liczba ujemna, która ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Aby znaleźć takie rozwiązania należy rozszerzyć rozważany zbiór liczb na liczby zespolone. Dokonuje się to przez wprowadzenie nowej liczby, oznaczanej przez nazwanej jednostką urojoną, która jest zdefiniowana jako Korzystając z tego równania, możemy określić, że to pierwiastek kwadratowy z lecz należy zauważyć, że także więc jest także pierwiastkiem kwadratowym z -1. Zgodnie z konwencją, kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z to lub w ogólności, jeśli jest dowolną liczbą dodatnią, to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z wynosi
Prawa strona (a także jej negacja) jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z gdyż
Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej istnieją dokładnie dwie liczby takie, że kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby (zdefiniowany poniżej) i jego negacja.
Pierwiastek kwadratowy z liczby urojonej
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Imaginary2Root.svg/220px-Imaginary2Root.svg.png)
Pierwiastek kwadratowy z jest dany wzorem
Wynik ten można otrzymać algebraicznie przez znalezienie i w sposób
lub odpowiednio
Co daje układ dwóch równań
z rozwiązaniami
Dla arytmetycznego pierwiastka kwadratowego wybieramy
Ten wynik można również uzyskać, korzystając ze wzoru de Moivre’a, podstawiając
który daje
Kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby zespolonej
Aby znaleźć definicję pierwiastka kwadratowego, która jednoznacznie określi jedną wartość, zwaną kwadratowym pierwiastkiem arytmetycznym, należy zauważyć, że liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie wyrażoną w układzie współrzędnych kartezjańskich. Ten sam punkt może być odczytany za pomocą współrzędnych biegunowych jako para gdzie jest odległością od środka układu współrzędnych, a to kąt jaki tworzy półprosta o początku w środku układu współrzędnych i przechodząca przez zadany punkt z półosią dodatnich wartość ta jest zwykle zapisywana
Jeśli
oraz
to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby definiuje się wzorem
Oś rzeczywista dla wartości niedodatnich tworzy wtedy zbiór punktów rozgałęzienia. Funkcja kwadratowego pierwiastka arytmetycznego jest wszędzie holomorficzna z wyjątkiem rzeczywistych liczb niedodatnich (ściślej ujmując, dla ujemnych liczb rzeczywistych nie jest nawet ciągła). Powyższy szereg Taylora dla pozostaje słuszny dla liczb zespolonych gdzie
Powyższe równanie można także wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych:
Wzór algebraiczny
Kiedy liczba jest wyrażona we współrzędnych kartezjańskich, to za pomocą następującego wzoru można wyznaczyć kwadratowy pierwiastek arytmetyczny[4][5]:
gdzie sgn to funkcja zwracająca znak, a to moduł liczby zespolonej.
Wyprowadzenie Oznaczmy oraz oraz
Sprawdzenie:
Rozpatrzmy część rzeczywistą ostatniej równości
oraz część urojoną (korzystamy z własności kwadratu modułu: ):
Gdy powyższe ciągi równości rozpatrzymy od końca, niniejsze sprawdzenie staje się wyprowadzeniem.
Wzór na iloczyn pierwiastków
Z powodu nieciągłości funkcji pierwiastka kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, ogólna reguła nie jest spełniona (podobny problem występuje przy obliczaniu logarytmu liczby zespolonej). Błędne założenie, co to słuszności tej reguły może prowadzić do fałszywych „dowodów”, jak np. poniższy pokazujący, że
Przekształcenie w trzeciej równości nie może być zastosowane. Mogłoby być one zastosowane pod warunkiem zmiany znaczenia √ na takie, że jego rozwiązaniem nie jest już pierwiastek kwadratowy arytmetyczny, ale funkcja zawierająca Wobec czego lewa strona staje się również
jeśli zbiór zawiera lub
jeśli zbiór zawiera podczas gdy prawa strona staje się
gdzie ostatnia równość, jest konsekwencją wyboru ze zbioru w nowej definicji pierwiastka.
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło pierwiastek kwadratowy w Wikisłowniku |
- pierwiastek kwadratowy z 2
- pierwiastek kwadratowy z 3
- pierwiastek kwadratowy z 5
- pierwiastek sześcienny
- pierwiastkowanie - ogólnie nt. pierwiastków dowolnego stopnia
- pierwiastek z jedynki
- reszta kwadratowa modulo
- niereszta kwadratowa modulo
Przypisy
- ↑ Polskojęzyczne tłumaczenie Elementów Euklidesa, Księga X, Twierdzenia I. [dostęp 2010-08-30]. [zarchiwizowane z tego adresu (20 sierpnia 2009)].
- ↑ Morderczy spisek albo „złoty podział”. W: Christoph Drösser: Matematyka. Daj się uwieść!. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-16557-4.
- ↑ pierwiastek kwadratowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-27] .
- ↑ Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964, s. 17. ISBN 0-486-61272-4., Rozdział 3.7.27, s. 17 (ang.).
- ↑ Roger Cooke: Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008, s. 59. ISBN 0-470-25952-3., Wyciąg: strona 59 (ang.).
- p
- d
- e
pojęcia definiujące | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
typy | |||||||
pojęcia podstawowe | |||||||
opis algebraiczny |
| ||||||
opis parametryczny |
| ||||||
występowanie |
| ||||||
powiązane powierzchnie |
| ||||||
nawiązujące pojęcia |
| ||||||
uogólnienia | |||||||
badacze |
- p
- d
- e
algebraiczne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
przestępne |
| ||||||
krzywe tworzące wykresy |
| ||||||
powiązane tematy |
- Britannica: topic/square-root
- SNL: kvadratroten
- DSDE: kvadratrod