Wielościan foremny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Platonic_Solids_Transparent.svg/220px-Platonic_Solids_Transparent.svg.png)
Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, w którym:
- wszystkie ściany są przystające i foremne;
- wszystkie kąty wielościenne są równe[1].
Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).
Przypadek trójwymiarowowy
Lista
Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):
Nazwa | Nazwa grecka | Grafika | Ściana | Liczba ścian | Liczba krawędzi | Liczba wierzchołków | Kąt dwuścienny |
---|---|---|---|---|---|---|---|
czworościan | tetraedr | ![]() | trójkąt foremny (równoboczny) | 4 | 6 | 4 | |
sześcian | heksaedr | ![]() | czworokąt foremny (kwadrat) | 6 | 12 | 8 | |
ośmiościan | oktaedr | ![]() | trójkąt foremny (równoboczny) | 8 | 12 | 6 | |
dwunastościan | dodekaedr | ![]() | pięciokąt foremny | 12 | 30 | 20 | |
dwudziestościan | ikosaedr | ![]() | trójkąt foremny (równoboczny) | 20 | 30 | 12 |
Dowody zupełności listy
Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.
ściana | kąt wewnętrzny ściany | liczba ścian przy wierzchołku ≥3 | wielokrotność kąta <360° | nazwa | uwagi |
---|---|---|---|---|---|
trójkąt | 60° | 3 | 180° | czworościan foremny | |
4 | 240° | ośmiościan foremny | |||
5 | 300° | dwudziestościan foremny | ostatni z tej serii, bo 6·60°≥360° | ||
kwadrat | 90° | 3 | 270° | sześcian | jedyny z tej serii, bo 4·90°≥360° |
pięciokąt | 108° | 3 | 324° | dwunastościan foremny | jedyny z tej serii, bo 4·108°≥360° |
sześciokąt i następne | ≥120° | 3 | ≥360° | – | żaden z tej i następnych serii, bo 3·120°≥360° |
Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:
gdzie oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, liczbę jego ścian, a liczbę krawędzi.
Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy
Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem
Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności i
i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy
Przekształcając otrzymamy kolejno
oraz
Ponieważ oraz przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:
nazwa | |||
---|---|---|---|
1·1 | 3 | 3 | czworościan foremny |
2·1 | 4 | 3 | sześcian |
1·2 | 3 | 4 | ośmiościan foremny |
1·3 | 3 | 5 | dwudziestościan foremny |
3·1 | 5 | 3 | dwunastościan foremny |
Oczywiście znając można wyznaczyć korzystając ze wzoru Eulera i zależności oraz
Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie i
Historia
Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa[a] (ucznia Platona).
Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.
W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata[2].
Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.
Uogólnienie na wielokomórki foremne
Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej, oznaczanej .
Przestrzeń czterowymiarowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/5-cell.gif/220px-5-cell.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/8-cell.gif/220px-8-cell.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/16-cell.gif/220px-16-cell.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/24-cell.gif/220px-24-cell.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/120-cell.gif/220px-120-cell.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/600-cell.gif/220px-600-cell.gif)
Udowodniono, że dla n=4 , że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:
Nazwa | Liczba ścian trójwymiarowych (brył foremnych) | Liczba ścian dwuwymiarowych (wielokątów foremnych) | Liczba krawędzi | Liczba wierzchołków | Wielokomórka dualna |
---|---|---|---|---|---|
foremna 5-komórka (4-wymiarowy sympleks) | 5 czworościanów | 10 trójkątów | 10 | 5 | samodualna |
foremna 8-komórka (4-wymiarowy hipersześcian) | 8 sześcianów | 24 kwadratów | 32 | 16 | 16-komórka |
foremna 16-komórka | 16 czworościanów | 32 trójkątów | 24 | 8 | 8-komórka |
foremna 24-komórka | 24 ośmiościanów | 96 trójkątów | 96 | 24 | samodualna |
foremna 120-komórka | 120 dwunastościanów | 720 pięciokątów | 1200 | 600 | 600-komórka |
foremna 600-komórka | 600 czworościanów | 1200 trójkątów | 720 | 120 | 120-komórka |
Wyższe wymiary
Dla dowolnego naturalnego udowodniono, że w przestrzeni istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne[3]:
Nazwa | Liczba (n-1)-wymiarowych ścian | Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1 | Wielokomórka dualna |
---|---|---|---|
n-wymiarowy sympleks foremny | (n-1)-wymiarowych sympleksów | k-wymiarowych sympleksów | samodualna |
n-wymiarowy hipersześcian | (n-1)-wymiarowych hipersześcianów | k-wymiarowych hipersześcianów | 2n-komórka |
n-wymiarowa 2n-komórka foremna | (n-1)-wymiarowych sympleksów | k-wymiarowych sympleksów | hipersześcian |
Ponadto, uogólnione objętości i powierzchnie powyższych trzech wielokomórek foremnych to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego . Wielokomórki te są zatem zdefiniowane w każdym wymiarze[4].
Można też rozpatrywać przypadki „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego istnieje -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.
Zobacz też
Uwagi
![]() | Zobacz hasło bryła platońska w Wikisłowniku |
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Wielościan foremny |
Przypisy
- ↑ wielościan foremny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Matematyka dla humanistów – Michał Szurek.
- ↑ Mathematical puzzles and diversions – Martin Gardner.
- ↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .
Linki zewnętrzne
Grażyna Kiełczykowska, Bryły platońskie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-20].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Platonic Solid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-18].
- p
- d
- e
|
w nawiasach () podano liczbę ścian
- p
- d
- e
typy |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
powiązane pojęcia | |||||
twierdzenia | |||||
uogólnienia |
|
- PWN: 3958025
- Britannica: topic/Platonic-solid