Em matemática, a integral de Skorokhod, frequentemente denotada como
, é um operador de grande importância na teoria dos processos estocásticos.[1] Recebe este nome em homenagem ao matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod. Parte da sua importância deriva do fato de que unifica vários conceitos:
é uma extensão da integral de Itō a processos não adaptados;
é o adjunto da derivada de Malliavin, que é fundamental para o cálculo estocástico de variações (cálculo de Malliavin);
é uma generalização de dimensões infinitas do operador de divergência a partir do cálculo vetorial clássico.
Definição
Derivada de Malliavin
Considere um espaço de probabilidade fixo
e um espaço de Hilbert
, sendo que
denota o valor esperado em relação à
:
![{\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1feaaec7ed8bd2c1d183e35ef9b834aabc67d001)
Falando intuitivamente, a derivada de Malliavin de uma variável aleatória
em
é definida expandindo-a em termos de variáveis aleatórias gaussianas que são parametrizadas pelos elementos de
e diferenciando da expansão formalmente. A integral de Skorokhod é o operador adjunto da derivada de Malliavin. Considere uma família de variáveis aleatórias de valores reais
, indexada pelos elementos
do espaço de Hilbert
. Assuma em seguida que cada
é uma variável aleatória gaussiana (normal), que o mapa que leva de
a
é um mapa linear e que a média e a estrutura de covariância são dadas por:
![{\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ef57bca9bc77981efcdcbe5734b1dbf1296efa)
![{\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622dacbcecc13497f66a56bf7dc205d3dbc4182e)
para todo
e
em
. Pode-se mostrar que, dado
, sempre existe um espaço de probabilidade
e uma família de variáveis aleatórias com as propriedades acima. A derivada de Malliavin é essencialmente definida ao configurar formalmente a derivada da variável aleatória
como sendo
e então estender esta definição a variáveis aleatórias suficientemente suaves. Para uma variável aleatória
da forma:
![{\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3660a1be6fe38b1ee9b1f169f2b5ddead18a928)
em que
é suave, a derivada de Malliavin é definida usando a "definição formal" anterior e a regra da cadeia:
![{\displaystyle \mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14151c2196a7c3c4491412bac08e4d1113d64b3)
Em outras palavras, enquanto
era uma variável aleatória de valores reais, sua derivada
é uma variável aleatória de valor
, um elemento do espaço
. Certamente, este procedimento apenas define
para variáveis aleatórias "suaves", mas um procedimento de aproximação pode ser empregado para definir
para
em um subespaço grande de
; o domínio de
é o fecho das variáveis aleatórias suaves na seminorma:
![{\displaystyle \|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aa51d54359008d1284a297b2e7ca8684272edf)
Este espaço é denotado por
e é chamado de espaço de Watanabe–Sobolev.
Integral de Skorokhod
Por simplicidade, considere agora apenas o caso
. A integral de Skorokhod
é definida como o adjunto-
da derivada de Malliavin
. Assim como
não foi definida no todo de
,
não é definida no todo de
: o domínio de
consiste naqueles processos
em
para os quais existe uma constante
, tal que, para toda
em
,
![{\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa086ba7d4d26a9e4e8cbf8f517e4e99eb0677e8)
A integral de Skorokhod de um processo
em
é uma variável aleatória de valores reais
em
; se
cai no domínio de
, então ,
é definida pela relação que, para toda
,
![{\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d2b07effd49c2f3f0b4e46e7d4dbde4307b073)
Assim como a derivada de Malliavin
foi primeiramente definida em variáveis aleatórias simples e suaves, a integral de Skorokhod tem uma expressão simples para "processos simples": se
for dada por
![{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3aa52e964e02d42da0630f390dbfb1c81818dc)
em
suave e
em
, então:
[2]
Propriedades
- De acordo com a propriedade da isometria, para qualquer processo
em
que cai no domínio de
,
![{\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80caf61f37f0f3ec29a22e03e09e0dabcd2c8c32)
- Se
for um processo adaptado, então,
para
, de modo que o segundo termo no lado direito desaparece. As integrais de Skorokhod e Itō coincidem neste caso e a equação acima se torna a isometria de Itō.
- A derivada da integral de Skorokhod é dada pela fórmula:
![{\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6768b3b0370060f2ef16eef0c1fe5f1ad32e74)
- em que
representa
, a variável aleatória que é o valor do processo
no "tempo"
em
.
- A integral de Skorokhod do produto de uma variável aleatória
em
e um processo
em
é dada pela fórmula:
[3]
Referências
- ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. «Skorokhod integral». Springer Science+Business Media B.V./Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4. Consultado em 23 de janeiro de 2018
- ↑ Ocone, Daniel L. (1988). «A guide to the stochastic calculus of variations». Springer, Berlin, Heidelberg. Lecture Notes in Mathematics (em inglês): 1–79. ISBN 9783540193159. doi:10.1007/bfb0081929
- ↑ Sanz-Solé, Marta (2008). «Applications of Malliavin Calculus to Stochastic Partial Differential Equations» (PDF). Imperial College London. Consultado em 23 de janeiro de 2018
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