Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.
Definicja formalna i przykłady
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi
Równoważnie, jest ciągiem arytmetycznym, jeśli
- Przykłady
- ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
- ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny ( ale ),
- dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.
Własności
- Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
- Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
- Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.
Suma skończonego ciągu arytmetycznego
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i -tego pomnożona przez liczbę wyrazów [1]:
Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[3].
- Dowód wzoru
Wyraźmy sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:
- oraz
(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).
Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy
a stąd
i
Pamiętając, że powyższą równość możemy przekształcić do:
Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową
Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego
Dowód:
Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej
Czyli ciąg wartości funkcji liniowej dla kolejnych naturalnych
będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym
Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:
Przypisy
![]() | Zobacz publikację Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny w Wikibooks |
![]() | Zobacz hasło ciąg arytmetyczny w Wikisłowniku |
- ↑ a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ ciąg arytmetyczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, Suma wyrazów ciągu arytmetycznego, kanał Khan Academy na YouTube, 5 lipca 2016 [dostęp 2024-06-23].
- p
- d
- e
- DSDE: differensrække