Liczby Bernoulliego – nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako
gdzie
jest numerem porządkowym liczby,
wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę:
„w pół kwadransa”.
Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.
Definicja
Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez
a według definicji 2 – przez
Przy tym liczby
stanowią podzbiór właściwy liczb
Liczby Bernoulliego – definicja 1
Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji[1]:
![{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d126a3c1870e1316b8efecbc46cba94940f813)
Szereg powyższy jest zbieżny dla
Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f92b8cf1a343c5d461d55c86f3159b859e07e6)
gdzie
Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego o indeksach nieparzystych większych od 2 są równe 0.
Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.
Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od
![{\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89d99ebfce814db42ab1d34232774a70098e970)
Liczby Bernoulliego – definicja 2
Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:
![{\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac2e2132b1593461b659f4715c15f2fb2afacc)
Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od
![{\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60628af5073fe110984b47a2c26bf4210c6df8c0)
Powiązanie pomiędzy liczbami
i
opisuje poniższy wzór:
![{\displaystyle B_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{dla }}n=0\\-{\frac {1}{2}},&{\mbox{dla }}n=1\\(-1)^{({\frac {n}{2}})-1}\cdot {B_{\frac {n}{2}}^{*}},&{\mbox{dla }}n{\mbox{ parzystych}}\\0,&{\mbox{dla }}n{\mbox{ nieparzystych}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50a39c73038cac8ba34fef94c30ebc79d4b1e21)
Wzór asymptotyczny
Wykorzystując wzór Stirlinga, otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:
![{\displaystyle B_{n}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4\cdot {\sqrt {\pi \cdot n}}\cdot \left({\frac {n}{\pi {e}}}\right)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5e36dba32f86a5b1cfe53720f4b185603b02a4)
Twierdzenie Staudta
Każda liczba Bernoulliego
może być przedstawiona w postaci[2]
gdzie
jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach
liczby
dla których
jest liczbą pierwszą.
Na przykład liczba Bernoulliego
może być przedstawiona w postaci
bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.
Przykłady zastosowań
Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak
i w innych.
Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{j^{k}}={\frac {1}{k+1}}\cdot \left[n^{k+1}+{k+1 \choose 1}\,B_{1}n^{k}+{k+1 \choose 2}\,B_{2}n^{k-1}+\ldots +{k+1 \choose k}\,B_{k}n\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f822e718aff7e0f46b81535f78691f24154191c7)
Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:
![{\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {\pi ^{2k}2^{2k-1}}{(2k)!}}B_{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa4e3a06c6e2cb6ba78f4553d8115108b765ad8)
W szczególności wynika stąd, że
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664617be29449b83fe4c47625907f1713ec4b523)
Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {\pi ^{2k}\left(2^{2k-1}-1\right)}{(2k)!}}B_{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2140c3bf4396cefdf55dd9f0a6196ed4d2929a43)
Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.
Przypisy
- ↑ liczby Bernoulliego, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ A.О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, ГИТТЛ, 1952, s. 336–337.
Bibliografia
- PauloP. Ribenboim PauloP., Mała księga wielkich liczb pierwszych, JerzyJ. Browkin (tłum.), Warszawa: WNT, 1997, ISBN 83-204-2201-9, OCLC 69586783 . Brak numerów stron w książce
- J.H. Conway, R.K. Guy, Księga liczb, WNT, Warszawa 1999, ISBN 83-204-2366-X.
- R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, § 6.5.: Liczby Bernoulliego, PWN, Warszawa 2006, ISBN 83-01-14764-4.
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bernoulli Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | |
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|