Podgrupa Frattiniego
Podgrupa Frattiniego – część wspólna wszystkich maksymalnych podgrup danej grupy. W przypadku gdy dana grupa nie posiada podgrup maksymalnych, jest ona równa swojej podgrupie Frattiniego. Często stosuje się równoznaczną definicję tej podgrupy jako zbioru elementów niegenerujących.
Definicja
Niech będzie grupą. jest podgrupą maksymalną jeśli nie istnieje taka grupa że Podgrupą Frattiniego nazywamy część wspólną wszystkich podgrup maksymalnych
Zbiór elementów niegenerujących
Niech będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w tj. takich że jeżeli pozdzbiór zawierający generuje to też generuje Wówczas zbiór pokrywa się z
Dowód
Jeśli nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech Niech będzie podgrupą maksymalną. Jeśli to ( jest podgrupą maksymalną nie zawierającą zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale co stoi w sprzeczności z tym, że jest elementem niegenerującym. Czyli musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd
Niech istnieje element który wraz z pewnym zbiorem generuje lecz Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy maksymalne wśród podgrup zawierających i niezawierających Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one a wraz z nią element co stoi w sprzeczności z konstrukcją.
Przykłady
- W grupie wszystkie podgrupy generowane przez liczbę pierwszą są maksymalne. Zatem
- W grupie wszystkie elementy są niegenerujące, dlatego
Bibliografia
- Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 24–25.
- p
- d
- e
podstawy |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
przykłady |
| ||||||||
homomorfizmy | |||||||||
podgrupy |
| ||||||||
dalsze pojęcia |
| ||||||||
rodzaje grup |
| ||||||||
twierdzenia o grupach |
| ||||||||
grupy z dodatkowymi strukturami | |||||||||
uogólnienia | |||||||||
uczeni według daty narodzin |
|