Twierdzenie o odpowiedniości

Twierdzenie o odpowiedniości^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie^[6][9][a][b] lub twierdzenie o kracie^[11]) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy ${\displaystyle G}$ zawierających podgrupę normalną ${\displaystyle N}$ z podgrupami grupy ilorazowej ${\displaystyle G/N;}$ struktura podgrup grupy ${\displaystyle G/N}$ jest tożsama ze strukturą podgrup grupy ${\displaystyle G}$ zawierających ${\displaystyle N}$ (zob. Wnioski).

Niech ${\displaystyle \varphi \colon G\twoheadrightarrow G'}$ będzie homomorfizmem grup ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle G'.}$ Wówczas istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich podgrup grupy ${\displaystyle G}$ zawierających jądro ${\displaystyle \ker \varphi }$ oraz zbioru wszystkich podgrup grupy ${\displaystyle G'}$ – odpowiedniość ta zachowuje zawieranie. Podgrupy normalne w ${\displaystyle G}$ zawierające ${\displaystyle \ker \varphi }$ odpowiadają podgrupom normalnym w ${\displaystyle G'}$ i na odwrót. Grupy ilorazowe odpowiadających podgrup normalnych są izomorficzne. W ten sposób twierdzenie opisuje monotoniczne połączenie Galois (w istocie: odpowiedniość Galois) między kratą podgrup grupy ${\displaystyle G}$ a kratą podgrup grupy ${\displaystyle G/N.}$ Podobne wyniki są prawdziwe dla pierścieni, modułów, przestrzeni liniowych oraz algebr nad ciałami.

 Zobacz też: podgrupa, podgrupa normalna, grupa ilorazowa, homomorfizm i jądro.

Niech ${\displaystyle \varphi \colon G\twoheadrightarrow G'}$ jest homomorfizmem grup ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle G'.}$ Wówczas

(1) dla każdej ${\displaystyle H\leqslant G,}$ dla której ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H,}$ istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa ${\displaystyle H'\leqslant G'}$^[c];

(2) jeżeli ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H\leqslant J\leqslant G,}$ to ${\displaystyle H'\leqslant J'}$^[d];

(3) jeżeli ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H\leqslant G,}$ ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant J\leqslant G}$ oraz ${\displaystyle H'\leqslant J',}$ to ${\displaystyle H\leqslant J}$^[e];

(4) jeżeli ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H\leqslant G,}$ ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant J\leqslant G}$ oraz ${\displaystyle H'=J',}$ to ${\displaystyle H=J}$^[f];

(5) jeżeli ${\displaystyle S}$ jest dowolną podgrupą ${\displaystyle G',}$ to istnieje ${\displaystyle H\leqslant G,}$ dla której ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H}$ oraz ${\displaystyle H'=S}$^[g];

(6) dla ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H\leqslant G}$ zachodzi ${\displaystyle H\trianglelefteq G}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle H'\trianglelefteq G'}$^[h];

(7) jeżeli ${\displaystyle \ker \varphi \leqslant H\trianglelefteq G}$ oraz ${\displaystyle H'\trianglelefteq G',}$ to ${\displaystyle G/H\simeq G'/H'}$^[i].

Ważny przypadek szczególny powyższego twierdzenia to przypadek homomorfizmu naturalnego (zob. rozkład grupy ilorazowej); przypadek ten umożliwia wyczerpujący opis podgrup grupy ilorazowej – jego ostatnią zależność określa się jako twierdzenie o ilorazie ilorazu lub, częściej, trzecie (drugie) twierdzenie o izomorfizmie – dzięki poniższemu stwierdzeniu można m.in. przeprowadzić klasyfikację grup ilorazowych grup cyklicznych:

Stwierdzenie

Niech ${\displaystyle N\trianglelefteq G.}$ Podgrupy grupy ${\displaystyle G/N}$ są podgrupami ilorazowymi ${\displaystyle S/N,}$ gdzie ${\displaystyle S}$ przebiega podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ spełniające ${\displaystyle N\leqslant S.}$ Dokładniej, dla każdej podgrupy ${\displaystyle X}$ grupy ${\displaystyle G/N}$ istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa ${\displaystyle S}$ grupy ${\displaystyle G}$ spełniająca ${\displaystyle N\leqslant S,}$ dla której ${\displaystyle X=G/N.}$ Jeżeli ${\displaystyle X_{1}}$ i ${\displaystyle X_{2}}$ są podgrupami ${\displaystyle G/N,}$ np. ${\displaystyle X_{1}=S_{1}/N}$ i ${\displaystyle X_{2}=S_{2}/N,}$ gdzie ${\displaystyle N\leqslant S_{1}\leqslant G}$ i ${\displaystyle N\leqslant S_{2}\leqslant G,}$ to ${\displaystyle X_{1}\leqslant X_{2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle S_{1}\leqslant S_{2}.}$ Co więcej ${\displaystyle S/N\trianglelefteq G/N}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle S\trianglelefteq G.}$ W tym przypadku ${\displaystyle G/N{\big /}S/N\simeq G/S.}$

Dowód

Ponieważ ${\displaystyle N\trianglelefteq G,}$ to możliwa jest konstrukcja grupy ilorazowej ${\displaystyle G/N.}$ Homomorfizm naturalny ${\displaystyle \nu \colon G\to G/N}$ jest „na”, można zatem zastosować powyższe twierdzenie – zgodnie z nim dowolna podgrupa w ${\displaystyle G/N}$ jest postaci ${\displaystyle \operatorname {im} \,\nu _{S}}$ dla pewnej ${\displaystyle S\leqslant G,}$ gdzie ${\displaystyle \ker \nu \leqslant S}$ (${\displaystyle \nu _{S}}$ oznacza zawężenie ${\displaystyle \nu }$ do ${\displaystyle S}$). Jest

${\displaystyle \operatorname {im} \,\nu _{S}=\left\{\nu (s)\in G/N\colon s\in S\right\}=\{sN\in G/N\colon s\in S\}=S/N}$

oraz ${\displaystyle \ker \nu =N}$ na mocy twierdzenia (${\displaystyle S/N}$ ma sens, ponieważ ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ oraz ${\displaystyle N\leqslant S}$ pociągają ${\displaystyle N\trianglelefteq S}$). Zatem podgrupy ${\displaystyle G/N}$ mają postać ${\displaystyle S/N,}$ gdzie ${\displaystyle N\leqslant S\leqslant G.}$ Zgodnie z częściami (2), (3), (4) twierdzenia ${\displaystyle S_{1}/N\leqslant S_{2}/N}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle S_{1}\leqslant S_{2}}$ oraz ${\displaystyle S_{1}\neq S_{2}.}$ Wreszcie ${\displaystyle S_{1}/N\trianglelefteq G/N}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle S\trianglelefteq G}$ na mocy części (6) twierdzenia i w tym przypadku ${\displaystyle G/N{\big /}S/N\simeq G/S}$ na mocy (7), co kończy dowód.

W szczególności prawdziwe są też następujące obserwacje:

• jeśli ${\displaystyle H\leqslant G,}$ to ${\displaystyle [G:H]=[G':H'],}$ gdzie ${\displaystyle [G:H]}$ oznacza indeks podgrupy ${\displaystyle H}$ w grupie ${\displaystyle G}$ (tj. liczbę warstw podgrupy ${\displaystyle H}$ w grupie ${\displaystyle G}$);
• ${\displaystyle (A\Cup B)/N=A'\Cup B',}$ gdzie ${\displaystyle A\Cup B}$ oznacza podgrupę ${\displaystyle G}$ generowaną przez ${\displaystyle A\cup B}$^[j];
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A'\cap B';}$

przy czym lista ta jest daleko niewyczerpująca, ponieważ większość właściwości podgrup zachowuje się w obrazach bijekcyjnych na podgrupy grup ilorazowych.

• krata podgrup
• modularność