Ciało (matematyka)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Diagram_Hassego_podstawowych_cia%C5%82_liczbowych.png/300px-Diagram_Hassego_podstawowych_cia%C5%82_liczbowych.png)
![]() | Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: ciało zbiorów. |
Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; krótko definiowany jako przemienny pierścień z dzieleniem lub dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.
Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak:
- rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków); zajmuje się tym teoria Galois badająca ciała przez ich grupy automorfizmów;
- wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki).
Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.
Definicja
Aksjomaty
Ciało to struktura z działaniami i – nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem – o kilku własnościach[1]:
- oba działania są łączne, przemienne i mają elementy neutralne;
- każdy element ma swój element odwrotny względem dodawania, a każdy element niezerowy – także element odwrotny względem mnożenia;
- mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Element neutralny dodawania oznacza się przez 0, a element neutralny mnożenia oznacza się przez 1 i nazywa jedynką lub jednością. Czasem zakłada się, że 0 ≠ 1, czyli że ciało ma co najmniej dwa elementy[2][3].
Formalnie zapisuje się to przez 9 aksjomatów – cztery z nich dotyczą samego dodawania, cztery samego mnożenia, a jeden związku między nimi:
1. | (łączność dodawania) | ||
2. | (przemienność dodawania) | ||
3. | (istnienie zera) | ||
4. | (możliwość odejmowania) | ||
5. | (łączność mnożenia) | ||
6. | (przemienność mnożenia) | ||
7. | (istnienie jedynki) | ||
8. | (możliwość dzielenia) | ||
9. | (rozdzielność mnożenia względem dodawania) |
Mówiąc krótko, ciałem nazywa się:
- pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny;[4]
- grupę przemienną oznaczaną addytywnie, która po usunięciu zera tworzy grupę przemienną z innym działaniem (mnożeniem), rozdzielnym względem dodawania[2].
Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci można zapisać prościej jako Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.
Rozbieżności nazewnicze
W literaturze rosyjskiej i francuskiej ciała określa się terminami, które można dosłownie przetłumaczyć jako pole (ros. поле, trb. pole) lub ciało przemienne (fr. corps commutatif). Ogólne pierścienie z dzieleniem – niewymagające przemienności mnożenia – określa się słowami, które w innych kontekstach tłumaczy się jako ciało: ros. тело (trb. tieło)[5], fr. corps[6].
Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski[7]. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów[8][9]. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.
Przykłady
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Passeiodecantor1.png/220px-Passeiodecantor1.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/220px-Real_number_line.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Regular_polygon_7_annotated.svg/220px-Regular_polygon_7_annotated.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Complex_picture.svg/220px-Complex_picture.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Fano_plane_with_colored_lines.svg/220px-Fano_plane_with_colored_lines.svg.png)
Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb:
- liczby wymierne;
- ich niektóre rozszerzenia: liczby konstruowalne, algebraiczne, rzeczywiste i p-adyczne
- niektóre rozszerzenia liczb rzeczywistych jak liczby zespolone czy hiperrzeczywiste.
Oprócz tego:
- funkcje wymierne o współczynnikach z dowolnego ciała również są ciałem;
- istnieją ciała skończone jak ciało Zp.
Ciało funkcji wymiernych wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.
Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.
Dzieje pojęcia
Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności[potrzebny przypis].
Nazwa ciało (niem. Körper) pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.
Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne[10] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).
Własności
- Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości.
- W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy i całe ciało Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy
- Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma elementów, gdzie jest pewną liczbą pierwszą, a jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.
Podciała i rozszerzenia
Osobne artykuły: rozszerzenie ciała i charakterystyka.
Podciałem ciała nazywa się taki podzbiór ciała który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ). Dowolny homomorfizm ciał jest zanurzeniem, gdyż
a więc dla każdego
Dla każdego ciała zawsze istnieje homomorfizm pierścieni jeżeli jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała zawierające pierścień jest izomorficzne z a o mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna taka, że i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień jest izomorficzny z ciałem reszt i mówi się, że ma charakterystykę równą
Jeżeli jest podciałem ciała to ciało nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała i tę relację między ciałami oznacza się Charakterystyka jest równa charakterystyce i jest przestrzenią liniową nad Stopniem rozszerzenia nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.
Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru istnieje najmniejsze podciało ciała Jeśli jest podciałem ciała a – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała zawierające i oznacza się
Część wspólna wszystkich podciał ciała nazywana jest podciałem prostym ciała Podciało proste jest ciałem prostym.
Konstrukcje
- Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
- jest ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
- Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego to pierścień ilorazowy
- Rozszerzenie ciała o element przestępny (ciało funkcji wymiernych zmiennej nad ciałem ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów
- Jeśli ciało jest podciałem ciała natomiast jest podzbiorem to istnieje najmniejsze podciało ciała zawierające i jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała zawierających i Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała razy iloczyn elementów zbioru
- Ultraprodukt ciał jest ciałem.
Przypisy
- ↑ Ciało, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ a b
Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 1: Grupy i ciała, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-21].
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Field, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-25].
- ↑ AleksiejA. Kostrikin AleksiejA., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 148, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).
- ↑ Кострикин А.И.: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994, s. 184–185.
- ↑ Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957. ; tłum. ros. 1969, s. 53.
- ↑ Pontriagin L.: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961, s. 45.
- ↑ Pontriagin, op. cit., s. 147.
- ↑ Berger M.: Géométrie. Paris: Nathan, 1977. , tłum. ros., t. 1, s. 14.
- ↑ Por. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, hasło „Field”.
Bibliografia
- L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961.
- E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.
- M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977.
- А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994.
Literatura dodatkowa
![]() | Zobacz hasło ciało w Wikisłowniku |
- Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
Linki zewnętrzne
Field (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
- p
- d
- e
z jednym działaniem wewnętrznym – grupoidy (magmy) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
z dwoma działaniami wewnętrznymi |
| ||||
z działaniem wewnętrznym i zewnętrznym |
| ||||
z dwoma działaniami wewnętrznymi i zewnętrznym | |||||
inne |
|
- PWN: 3886352
- Britannica: topic/field-mathematics
- БРЭ: 3152167
- SNL: kropp_-_matematikk
- Catalana: 0166175