正五十角形 五十角形(ごじゅうかくけい、ごじゅうかっけい、pentacontagon)は、多角形の一つで、50本の辺と50個の頂点を持つ図形である。内角の和は8640°、対角線の本数は1175本である。
正五十角形
正五十角形においては、中心角と外角は7.2°で、内角は172.8°となる。一辺の長さが a の正五十角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {50}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{50}}\simeq 198.68181a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854668f770b1881fb3e106b2102cd040fa344b76)
を冪根で表すと
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{50}}=&\cos {\frac {\pi }{25}}\\=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {2\pi }{25}}}}\\=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i}}+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc04f894195ea971b5fdfff4b27ccf49e071bef7)
別の表し方として
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{50}}=&\cos {\frac {\pi }{25}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{\cos {\frac {\pi }{5}}+i\cdot \sin {\frac {\pi }{5}}}}+{\sqrt[{5}]{\cos {\frac {\pi }{5}}-i\cdot \sin {\frac {\pi }{5}}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{\cos {\frac {2\pi }{10}}+i\cdot \sin {\frac {2\pi }{10}}}}+{\sqrt[{5}]{\cos {\frac {2\pi }{10}}-i\cdot \sin {\frac {2\pi }{10}}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+i\cdot {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}}+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}-i\cdot {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7cc61aee7109f3a0e1007b300fb659d6166fd77)
正五十角形の作図
正五十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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