正四十六角形 四十六角形(よんじゅうろくかくけい、よんじゅうろっかっけい、tetracontahexagon)は、多角形の一つで、46本の辺と46個の頂点を持つ図形である。内角の和は7920°、対角線の本数は989本である。
正四十六角形
正四十六角形においては、中心角と外角は7.826…°で、内角は172.173…°となる。一辺の長さが a の正四十六角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {46}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{46}}\simeq 168.12405a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32f1f652d6fa9b346af4e71924b3c91551526b5)
の値は、11次方程式を解くことにより冪根で表現される[1]。
の複素数解の一つ
をσとおいて、10次多項式にσを代入した値の11乗根を10個(
)用いて表される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{46}}=&\cos {\frac {\pi }{23}}=\cos \left(\pi -{\frac {22\pi }{23}}\right)=-\cos {\frac {22\pi }{23}}\\=&-{\frac {\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma ^{6}+\lambda _{4}\sigma ^{8}+\lambda _{5}\sigma ^{10}+\lambda _{6}\sigma +\lambda _{7}\sigma ^{3}+\lambda _{8}\sigma ^{5}+\lambda _{9}\sigma ^{7}+\lambda _{10}\sigma ^{9}-1}{22}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dd46b2dc5208ab29d5ccf5dc4b493db48f0d99)
![{\displaystyle \lambda _{1}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma -625515\sigma ^{2}-78859\sigma ^{3}+740707\sigma ^{4}+84370\sigma ^{5}+834405\sigma ^{6}+98208\sigma ^{7}+361900\sigma ^{8}-56177\sigma ^{9})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3705353b4a052024cb1b33809006d095e4f7a993)
![{\displaystyle \lambda _{2}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{2}-625515\sigma ^{4}-78859\sigma ^{6}+740707\sigma ^{8}+84370\sigma ^{10}+834405\sigma +98208\sigma ^{3}+361900\sigma ^{5}-56177\sigma ^{7})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae382a530189e4951b2d20d3af11d91fccaa7dc1)
![{\displaystyle \lambda _{3}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{3}-625515\sigma ^{6}-78859\sigma ^{9}+740707\sigma +84370\sigma ^{4}+834405\sigma ^{7}+98208\sigma ^{10}+361900\sigma ^{2}-56177\sigma ^{5})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4687aaf30c31113f8d6f710c1ac54ecd3d394803)
![{\displaystyle \lambda _{4}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{4}-625515\sigma ^{8}-78859\sigma +740707\sigma ^{5}+84370\sigma ^{9}+834405\sigma ^{2}+98208\sigma ^{6}+361900\sigma ^{10}-56177\sigma ^{3})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9088337a7bafb0ba8e85dada033d42ffe88a5431)
![{\displaystyle \lambda _{5}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{5}-625515\sigma ^{10}-78859\sigma ^{4}+740707\sigma ^{9}+84370\sigma ^{3}+834405\sigma ^{8}+98208\sigma ^{2}+361900\sigma ^{7}-56177\sigma )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ec91e8a0f37eaecac08864124b60a6f1d68fa7)
![{\displaystyle \lambda _{6}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{6}-625515\sigma -78859\sigma ^{7}+740707\sigma ^{2}+84370\sigma ^{8}+834405\sigma ^{3}+98208\sigma ^{9}+361900\sigma ^{4}-56177\sigma ^{10})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddc35855f0dbb80647ddf3967592f0ebf3227a5)
![{\displaystyle \lambda _{7}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{7}-625515\sigma ^{3}-78859\sigma ^{10}+740707\sigma ^{6}+84370\sigma ^{2}+834405\sigma ^{9}+98208\sigma ^{5}+361900\sigma -56177\sigma ^{8})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cefa1edfa6ae2813fc2e10c0bb8dcb83bc6845)
![{\displaystyle \lambda _{8}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{8}-625515\sigma ^{5}-78859\sigma ^{2}+740707\sigma ^{10}+84370\sigma ^{7}+834405\sigma ^{4}+98208\sigma +361900\sigma ^{9}-56177\sigma ^{6})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b498ffc0fa0fe0655630fa47e77876a91686725)
![{\displaystyle \lambda _{9}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{9}-625515\sigma ^{7}-78859\sigma ^{5}+740707\sigma ^{3}+84370\sigma +834405\sigma ^{10}+98208\sigma ^{8}+361900\sigma ^{6}-56177\sigma ^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4e1eca2b7ad6e0655bd4992d6f94354ea554be)
![{\displaystyle \lambda _{10}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{10}-625515\sigma ^{9}-78859\sigma ^{8}+740707\sigma ^{7}+84370\sigma ^{6}+834405\sigma ^{5}+98208\sigma ^{4}+361900\sigma ^{3}-56177\sigma ^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc93abfd7ccec936ccffbfae2d026af6ed90fb42)
正四十六角形の作図
正四十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正四十六角形は折紙により作図が不可能な図形である。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ z^23=1 の解法 | てっぃちMarshの数学(Mathematics)教室
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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