正十九角形 十九角形(じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、Enneadecagon、enneakaidecagon や nonadecagon とも)は、多角形の一つで、19本の辺と19個の頂点を持つ図形である。内角の和は3060°で、対角線の本数は152本である。
正十九角形
正十九角形においては、中心角と外角は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {19}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}\simeq 28.4652a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8572ed54978aef7cd455a572d632598f48d4e93c)
で、外接円の半径 R は
![{\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\simeq 3.037767a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416fe91b8118e2f75861400e426c1ee8091f3294)
で与えられる。
を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。 以下には、中間結果(三次方程式を1回解いた際の関係式)を示す[1]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19}}+2\cos {\frac {18\pi }{19}}+2\cos {\frac {12\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\gamma \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edec14ba0ca7211cbb225cce8de9517014da3c5)
さらに、以下のような関係式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a79dd72d29134ec823d4f5e097629cf97f534d)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6999b6485e4b0a0481d1791cbd1778127268071c)
よって
![{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19}}=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b5e51285e43fae1f191494c2615a6c50e276be)
整理すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{19}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10+6\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10-3\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10-3\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10+6\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e9a15e0e63aa39202a0730d9ba92a53c47a021)
正十九角形の作図
正十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正十九角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ z^19=1 の解法 | てっぃちMarshの数学(Mathematics)教室
関連項目
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、十九角形に関連するカテゴリがあります。
- Weisstein, Eric W. "Enneadecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
- 正十九角形の作図
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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