百八十角形(ひゃくはちじゅうかくけい、ひゃくはちじゅうかっけい)は、多角形の一つで、180本の辺と180個の頂点を持つ図形である。内角の和は32040°、対角線の本数は15930本である。
正百八十角形
正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は
![{\displaystyle S=45a^{2}\cot {\frac {\pi }{180}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb78ba69022fcfdebd4d91d1b4bec68439bfe6b1)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {26\pi }{180}}+2\cos {\frac {146\pi }{180}}+2\cos {\frac {94\pi }{180}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {14\pi }{180}}+2\cos {\frac {134\pi }{180}}+2\cos {\frac {106\pi }{180}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {178\pi }{180}}+2\cos {\frac {58\pi }{180}}+2\cos {\frac {62\pi }{180}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {98\pi }{180}}+2\cos {\frac {142\pi }{180}}+2\cos {\frac {22\pi }{180}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {166\pi }{180}}+2\cos {\frac {46\pi }{180}}+2\cos {\frac {74\pi }{180}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {34\pi }{180}}+2\cos {\frac {86\pi }{180}}+2\cos {\frac {154\pi }{180}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {82\pi }{180}}+2\cos {\frac {38\pi }{180}}+2\cos {\frac {158\pi }{180}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b97f03bcdf242407892f353cd9bbb167c9dcecc)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{180}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}=2\cos {\frac {2\pi }{60}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a114113cad593617879bb8e8e1c9b5a9777907b2)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{60}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3a757d161fd33930453385b0a8d4407e583dfa)
三次方程式を解くと
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}+i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}-i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}+i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}-i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7ea0506303d1a92cbdb1a6e288c079afa7ef9d)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{180}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d168118e19f7f14222385adae23c8a55192452cb)
正百八十角形の作図
正百八十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正百八十角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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